Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求出此時(shí)t的值；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQB為直角三角形；
（3）已知過O、P、Q三點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣ （x﹣t）2+t（t＞0）．問是否存在某一時(shí)刻t，將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形OABC是矩形，

∴∠AOC=∠OAB=90°，

∵OD平分∠AOC，

∴∠AOD=∠DOQ=45°，

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，

∴AO=AD=2，OD=2 ，

∴t= =2

（2）

解：要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．

如圖1，作PG⊥OC于點(diǎn)G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，

∴∠OPG=45°，

∵OP= t，

∴OG=PG=t，

∴點(diǎn)P（t，t）

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，

①若∠PQB=90°，則有PQ2+BQ2=PB2，

即：2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2，

整理得：4t2﹣8t=0，

解得：t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°，則有PB2+QB2=PQ2，

∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2，

整理得：t2﹣10t+20=0，

解得：t=5± ．

∴當(dāng)t=2或t=5+ 或t=5﹣ 時(shí)，△PQB為直角三角形．

解法2：①如圖2，當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，

易知∠OPQ=90°，

∴BQ∥OD

∴∠BQC=∠POQ=45°

可得QC=BC=2，

∴OQ=4，

∴2t=4，

∴t=2，

②如圖3，當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，若點(diǎn)Q在OC上，

作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，

則易證∠PBM=∠CBQ，

∴△PMB∽△QCB

∴ = ，

∴CBPM=QCMB，

∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（6﹣t），

化簡(jiǎn)得t2﹣10t+20=0，

解得：t=5± ，

∴t=5﹣ ；

③如圖4，當(dāng)∠PBQ=90°時(shí)，若點(diǎn)Q在OC的延長(zhǎng)線上，

作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，

則易證∠BPM=∠MBQ=∠BQC，

∴△PMB∽△QCB，

∴ = ，

∴CBPM=QCMB，

∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），

化簡(jiǎn)得t2﹣10t+20=0，

解得：t=5± ，

∴t=5+

（3）

解：存在這樣的t值，理由如下：

將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在拋物線上，

則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點(diǎn)，此時(shí)四邊形PBQB′為平行四邊形．

∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)可表示為（ t， t），

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，2），

∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3t﹣6，t﹣2），

代入y=﹣ （x﹣t）2+t，得：2t2﹣13t+18=0，

解得：t1= ，t2=2

【解析】（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出t的值；（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2 ， QB2=（6﹣2t）2+22 ， PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2 ， 再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可；（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在拋物線上，則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點(diǎn)，此時(shí)四邊形PBQB′為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性可求出t的值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．