Question

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以D為頂點作∠EDF=90°，DE、DF分別交AB、AC于E、F，且BE²+CF²=EF²，求證：△ABC為直角三角形．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：證明題

分析：延長FD到點G，使DG=DF，連接BG，可證得△CDF≌△BDG，可得CF∥BG，結(jié)合條件可得到BG²+BE²=FG²，再由平行可得出∠BAC=90°，得出結(jié)論．

解答：證明：延長FD到點G，使DG=DF，連接BG，
∵D是BC的中點，
∴BD=CD，
在△CDF和△BDG中，

CD=BD ∠FDC=∠BDG DF=DG

，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴∠C=∠DBG，CF=BG，
∴CF∥BG，
∵DF=DG，ED⊥FD，
∴EF=EG，
∵BE²+CF²=EF²，
∴BG²+BE²=FG²，
∴∠EBG=90°，
∵BG∥CF，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點評：本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，構(gòu)造三角形全等，利用平行得到∠BAC為直角是解題的關(guān)鍵．