Question

如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，若⊙O的半徑為4．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求BD的長；
（3）陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接OC，則得出∠COD=2∠CAO=2∠D=60°，可求得∠OCD=90°，可得出結(jié)論；
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，可得出OD=2OC=8，OB=8，可求出BD的長度；
（3）可利用△OCD的面積-扇形BOC的面積求得陰影部分的面積．

解答：（1）證明：連接OC，則∠COD=2∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切線；
（2）解：由（1）知△OCD為直角三角形，且∠D=30°，
所以O(shè)D=2OC=2×4=8，且OB=4，所以BD=8-4=4；
（3）解：在Rt△OCD中，OC=4，OD=8，由勾股定理可求得CD=4

3

，
所以S_△OCD=

1

2

OC•CD=

1

2

×4×

3

=2

3

，
因?yàn)椤螩OD=60°，所以S_扇形COB=

60π×42

360

=

8

3

π，
所以S_陰影=S_△OCD-S_扇形COB=2

3

-

8

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的判定及扇形面積的計(jì)算，證明切線時(shí)，連接過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．