Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點H，過點B作⊙O的切線與AD的延長線交于F．

（1）求證：

（2）若sinC=，DF=6，求⊙O的半徑．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）一方面由切線的性質(zhì)和平行的性質(zhì)得到∠ADC=∠F四邊形2另一方面由圓周角定理得∠ABC=∠ADC，從而證得∠ABC=∠F．

（2）連接BD，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABF=90°，利用銳角三角函數(shù)定義，在Rt△DBF中，由，DF=6求得BD=8；在Rt△ABD中，由求得，即可得到⊙O的半徑.

試題解析：（1）∵BF為⊙O的切線，∴AB⊥BF于點B．

∵ CD⊥AB，∴∠ABF =∠AHD =90°．

∴CD∥BF．∴∠ADC=∠F．

又∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC=∠F．

（2）如圖，連接BD．

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB =90°.

由（1）∠ABF =90°，∴∠A=∠DBF．

又∵∠A=∠C，∴∠C=∠DBF．

在Rt△DBF中，，DF=6，∴BD=8．

在Rt△ABD中，，∴．∴⊙O的半徑為．

考點：1．切線的性質(zhì)；2.平行的性質(zhì)；3．圓周角定理；4．銳角三角函數(shù)定義.