Question

類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整，原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G.若＝3，求的值．

(1)嘗試探究：

在圖1中，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是________，

CG和EH的數(shù)量關(guān)系是________，

的值是________．

(2)類比延伸：

如圖2，在原題條件下，若＝m(m＞0)則的值是________(用含有m的代數(shù)式表示)，試寫出解答過(guò)程．

(3)拓展遷移：

如圖3，梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE和BD相交于點(diǎn)F，若＝a，＝b(a＞0，b＞0)則的值是________(用含a、b的代數(shù)式表示)．

 

Answer 1

(1)AB＝3EH　CG＝2EH　　(2)　(3)ab＋1

【解析】(1)依題意，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，如圖1′所示，則有△ABF∽△EHF

圖1′

∴＝＝3，

∴AB＝3EH

∵?ABCD，EH∥AB

∴EH∥CD

又∵E為BC的中點(diǎn)，

∴EH為△BCG的中位線，

∴CG＝2EH，∴＝＝＝

(2)如圖2′所示，作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，

圖2′

則△EFH∽△AFB

∴＝＝m，

∴AB＝mEH

∵?ABCD

∴AB＝CD＝mEH

∵EH∥AB∥CD

∴△BEH∽△BCG

∴＝＝2，∴CG＝2EH，∴＝＝

(3)如圖3′所示，過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則有EH∥AB∥CD

圖3′

∵EH∥CD

∴△BCD∽△BEH

∴＝＝b，

∴CD＝bEH

又＝a，

∴AB＝aCD＝abEH

∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF

∴＝＝＝ab

∴＝＝＝ab＋1