Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4cm的速度沿折線A﹣C﹣B﹣A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足△BCP的周長(zhǎng)為14cm，求此時(shí)t的值；

（2）若點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，求此時(shí)t的值；

（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）t為s或5.3s或5s或s時(shí)，△BCP為等腰三角形.

【解析】

（1）根據(jù)△BCP的周長(zhǎng)為14cm， 可得AP=4t，PC=8-4t，BP=14-PC-BC=4t，根據(jù)勾股定理列出方程可求得t的值；

（2）過P作PE⊥AB，設(shè)CP=x，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和勾股定理列方程式求出CP，由此可求出t；

（3）分類討論：當(dāng)CP=CB時(shí)，△BCP為等腰三角形，若點(diǎn)P在AC上，根據(jù)AP的長(zhǎng)即可得到t的值，若點(diǎn)P在AB上，根據(jù)P移動(dòng)的路程易得t的值；當(dāng)PC=PB時(shí)，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD，則可判斷PD為△ABC的中位線，則AP=0.5AB=5，易得t的值；當(dāng)BP=BC=6時(shí)，△BCP為等腰三角形，易得t的值．

(1)∵△ABC中,∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴由勾股定理得，

如圖，連接BP，

當(dāng)△BCP的周長(zhǎng)為14cm 時(shí)，

在中根據(jù)勾股定理

即

解得.

故此時(shí)；

（2）如圖1，過P作PE⊥AB，

又∵點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上,且∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，

∴CP=EP，

∴△ACP≌△AEP(HL)，

∴AC=8cm=AE，BE=2，

設(shè)CP=x，則BP=6x，PE=x，

∴Rt△BEP中,BE2+PE2=BP2，

即22+x2=(6x)2

解得x=，

∴CP=，

∴CA+CP=8+=，

∴；

（3）①如圖2,當(dāng)CP=CB時(shí),△BCP為等腰三角形

若點(diǎn)P在CA上，則4t=86，

解得t= (s)；

②如圖3，

當(dāng)BP=BC=6時(shí)，△BCP為等腰三角形，

∴AC+CB+BP=8+6+6=20，

∴t=20÷4=5(s)；

③如圖4，

若點(diǎn)P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，則根據(jù)面積法求得CD=4.8，

在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=3.6，

∴PB=2BD=7.2，

∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，

此時(shí)t=21.2÷4=5.3(s)；

④如圖5，

當(dāng)PC=PB時(shí)，△BCP為等腰三角形，作PD⊥BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，

∴PD為△ABC的中位線，

∴AP=BP=AB=5，

∴AC+CB+BP=8+6+5=19，

∴t=19÷4=(s)；

綜上所述,t為s或5.3s或5s或s時(shí)，△BCP為等腰三角形.