Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)分別為，，且，直線軸，在軸上有一動(dòng)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線與拋物線、直線的交點(diǎn)分別為、．

求拋物線的解析式；

當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；

當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)12 (3)或或

【解析】

（1）認(rèn)真審題，直接根據(jù)題意列出方程組，求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出拋物線的解析式；

（2）分0＜t＜6時(shí)和6＜t≤8時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，據(jù)此即可求出三角形的最大值；

（3）以點(diǎn)D為分界點(diǎn)，分2＜t≤8時(shí)和t＞8時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，再根據(jù)三角形相似的條件，即可得解．

由題意知、是方程的兩根，

∴，

由

解得：

∴、

則，

解得：，

∴該拋物線解析式為：；

可求得

設(shè)直線的解析式為：，

∵

∴

∴直線的解析式為：，

要構(gòu)成，顯然，分兩種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與交點(diǎn)為，則：，

∵，

∴，

∴，

此時(shí)最大值為：，

②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與交點(diǎn)為，則：，

∵，∴，

∴，

當(dāng)時(shí)，取最大值，最大值為：，

綜上可知，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為；

如圖，連接，則中，，，，

，，

①當(dāng)時(shí)，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或（舍），

②當(dāng)時(shí)，，，

若：，則：，

即：，

∴（舍），或，

若，則：，

即：，

∴（舍）或，

∴或或．