【題目】如圖,點(diǎn)A,B,C都在拋物線y=ax2﹣2amx+am2﹣9(其中a>0)上,AB∥x軸,點(diǎn)P是拋物線的頂點(diǎn),tan∠PBA=2,∠BAC=45°.
(1)填空:拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (用含m的代數(shù)式表示);
(2)求△ABC的面積(用含a的代數(shù)式表示);
(3)若△ABC的面積為10,當(dāng)2m﹣3≤x≤2m+5時(shí),y的最小值為5,求m的值.
【答案】(1)(m,﹣9);(2)S△ABC=;(3)m的值為﹣5﹣或3+.
【解析】
(1)用配方法寫(xiě)出拋物線頂點(diǎn)式即求出頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過(guò)P作AB的垂線PD,因?yàn)?/span>A、B具有對(duì)稱性故點(diǎn)D為AB中點(diǎn),構(gòu)造∠PDB=90°,則把tan∠PBA=2轉(zhuǎn)化為PD=2BD=AB.設(shè)AD=BD=n,進(jìn)而用n表示A的坐標(biāo),再代入拋物線解析式,得到n與a的關(guān)系.過(guò)C作AB的垂線CE,構(gòu)造等腰直角△ACE,設(shè)AE=CE=t,用t表示C的坐標(biāo)并代入拋物線解析式,得到t與a的關(guān)系.最后直接AB與CE的積的一半即能用a表示△ABC的面積;
(3)利用△ABC面積求出a=1,拋物線開(kāi)口向上,最小值為y=-9,故條件里提到的范圍2m-3≤x≤2m+5不包含有對(duì)稱軸x=m.分兩種情況:①若此范圍在對(duì)稱軸左側(cè),即2m+5<m,y隨x的增大而減小,所以x=2m+5時(shí)對(duì)應(yīng)最小值;②若此范圍在對(duì)稱軸右側(cè),即2m-3>m,y隨x的增大而增大,x=2m-3對(duì)應(yīng)最小值.把相應(yīng)的x和y值代入拋物線解析式即求得m的值.
(1)∵y=ax2﹣2amx+am2﹣9=a(x﹣m)2﹣9,
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,﹣9),
故答案為:(m,﹣9).
(2)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,
∵AB∥x軸,且點(diǎn)A、B在拋物線上,
∴PA=PB,
∴AD=BD
∵tan∠PBA==2,
∴PD=2BD=AB,
設(shè)AD=BD=n(n>0),則PD=AB=2n,
∴A(m﹣n,﹣9+2n),
把A的坐標(biāo)代入拋物線解析式得:a(m﹣n﹣m)2﹣9=﹣9+2n,
整理得:n=,
∴AB=,A(m﹣,﹣9+),
∵∠AEC=90°,∠BAC=45°,
∴AE=CE,
設(shè)AE=CE=t(t>0),則C(m﹣+t,﹣9++t),
把C的坐標(biāo)代入拋物線解析式得:a(m﹣+t﹣m)2﹣9=﹣9++t,
整理得:t=,
∴CE=,
∴S△ABC=ABCE=;
(3)∵S△ABC==10,a>0,
∴a=1,
∴拋物線解析式為:y=(x﹣m)2﹣9,
∴拋物線最小值y=﹣9<5,
∴當(dāng)2m﹣3≤x≤2m+5時(shí),不包含有對(duì)稱軸x=m,
①若2m+5<m,即m<﹣5時(shí),x=2m+5對(duì)應(yīng)最小值y=5,
∴(2m+5﹣m)2﹣9=5,
解得:m1=﹣5+(舍去),m2=﹣5﹣,
②若2m﹣3>m,即m>3時(shí),x=2m﹣3對(duì)應(yīng)最小值y=5,
∴(2m﹣3﹣m)2﹣9=5,
解得:m1=3+,m2=3﹣(舍去),
綜上所述,m的值為﹣5﹣或3+.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=8.點(diǎn)D,E分別是邊AC,BC上的動(dòng)點(diǎn),連接DE.設(shè)CD=x(x>0),BE=y,y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.
(1)求出圖②中線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)將△DCE沿DE翻折,得△DME.
①點(diǎn)M是否可以落在△ABC的某條角平分線上?如果可以,求出相應(yīng)x的值;如果不可以,說(shuō)明理由;
②直接寫(xiě)出△DME與△ABC重疊部分面積的最大值及相應(yīng)x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,對(duì)稱軸為直線x=2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)(﹣1,0),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( 。
①當(dāng)x<﹣1或x>5時(shí),y>0;②a+b+c>0;③當(dāng)x>2時(shí),y隨x的增大而增大;④abc>0.
A.3B.2C.1D.0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,M、N、P在第二象限,橫坐標(biāo)分別是﹣4、﹣2、﹣1,雙曲線y=過(guò)M、N、P三點(diǎn),且MN=NP.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)過(guò)P點(diǎn)的直線l交x軸于A,交y軸于B,且PA=4AB,且交y=于另一點(diǎn)Q,求Q點(diǎn)坐標(biāo);
(3)以PN為邊(順時(shí)針?lè)较颍┳髡叫?/span>PNEF,平移正方形使N落在x軸上,點(diǎn)P、E對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′、E'正好落在反比例函數(shù)y=上,求F對(duì)應(yīng)點(diǎn)F′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】時(shí)代中學(xué)從學(xué)生興趣出發(fā),實(shí)施體育活動(dòng)課走班制.為了了解學(xué)生最喜歡的一種球類運(yùn)動(dòng),以便合理安排活動(dòng)場(chǎng)地,在全校至少喜歡一種球類(乒乓球、羽毛球、排球、籃球、足球)運(yùn)動(dòng)的1200名學(xué)生中,隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查(每人只能在這五種球類運(yùn)動(dòng)中選擇一種).調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
球類名稱 | 乒乓球 | 羽毛球 | 排球 | 籃球 | 足球 |
人數(shù) | 42 | 15 | 33 |
解答下列問(wèn)題:
(1)這次抽樣調(diào)查中的樣本是________;
(2)統(tǒng)計(jì)表中,________,________;
(3)試估計(jì)上述1200名學(xué)生中最喜歡乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)(k>0)與長(zhǎng)方形OABC在第一象限相交于D,E兩點(diǎn),OA=2,OC=4,連結(jié)OD、OE、DE.記△OAD、△OCE的面積分別為、.當(dāng)=2時(shí),求k的值及點(diǎn)D、E的坐標(biāo),試判斷△ODE的形狀.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,AB、CD相交于點(diǎn)P,則tan∠APD的值是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某班甲、乙、丙三位同學(xué)最近5次數(shù)學(xué)成績(jī)及其所在班級(jí)相應(yīng)平均分的折線統(tǒng)計(jì)圖,則下列判斷錯(cuò)誤的是( ).
A. 甲的數(shù)學(xué)成績(jī)高于班級(jí)平均分,且成績(jī)比較穩(wěn)定
B. 乙的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诎嗉?jí)平均分附近波動(dòng),且比丙好
C. 丙的數(shù)學(xué)成績(jī)低于班級(jí)平均分,但成績(jī)逐次提高
D. 就甲、乙、丙三個(gè)人而言,乙的數(shù)學(xué)成績(jī)最不穩(wěn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=ax+b與y=ax2-bx的圖象可能是( )
A.B.C.D.
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