【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與直線AB:y=x+相交于點A(1,0)和B(t,),直線ABy軸于點C.

(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;

(2)點Dx軸上的一個動點,連接BD、CD,請問△BCD的周長是否存在最小值?若存在,請求出點D的坐標(biāo),并求出周長最小值;若不存在,請說明理由.

(3)設(shè)點M是拋物線對稱軸上一點,點N在拋物線上,以點A、B、M、N為頂點的四邊形是否可能為矩形?若能,請求出點M的坐標(biāo),若不能,請說明理由.

【答案】(1)y=x2+x﹣,x=﹣1;(2)5+2;(3)能為矩形,M(﹣1,4

【解析】

1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式;

2的周長,其中為定值,當(dāng)該三角形的周長最小時,需要的值最小,即點、共線時,它們的值最小,所以利用軸對稱的性質(zhì)找到點的坐標(biāo);結(jié)合一次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)求得點的坐標(biāo);

3)需要分類討論:①為四邊形的邊長;②為四邊形的對角線.

①若為四邊形的邊長,作,交軸于點,又,構(gòu)造,可得,根據(jù)直線與拋物線的交點的求法得到:直線與拋物線只有一個交點為

②若為四邊形的對角線,當(dāng)四邊形是平行四邊形時,對角線互相平分,據(jù)此求得.

1)對于y=-x+

y=x=4,

B(﹣4,).

分別把A10)和B(﹣4,)代入y=x2+bx+c,得 .

解得

則該拋物線解析式為:y=x2+x,

∵﹣=1

∴對稱軸為直線x=1;

2)直線ABy=-x+相交于點C0,),

作點C關(guān)于x軸的對稱點C′,則C′0,-),

連接BC′x軸于點D,根據(jù)兩點之間線段最短可得BD+CD的和最小,

從而BCD的周長也最小,

B(﹣4,),C′0,﹣),

∴直線BC′的解析式為y=x

y=0,可得x=

D(﹣,0),

∴當(dāng)BCD的周長最小時,點D的坐標(biāo)為(﹣0),

最小周長=BC+BC′=+=5+2;

3)①

AB為四邊形的邊長,

AEAB,交y軸于點E,又OACE,

∴△AOC∽△EOA,

OE=2OA=2,

E0,﹣2.

∴直線AEy=2x2

2x2=x2+x,

解得x1=x2=1

∴直線AE與拋物線只有一個交點為A

∴不存在滿足題意的矩形;

AB為四邊形的對角線,當(dāng)四邊形是平行四邊形時,對角線互相平分,有xA+xB=xM+xN,即:1+(﹣4=1+xN,

解得xN=2

xN=2代入y=x2+x,

yN=,

yA+yB=yM+yN得:yM=4,

M(﹣14),N(﹣2,﹣),

此時MN==,AB==,

MN=AB,

∴平行四邊形AMBN為矩形,

綜上,能為矩形,M(﹣1,4).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為加快城鄉(xiāng)對接,建設(shè)全域美麗鄉(xiāng)村,某地區(qū)對A、B兩地間的公路進行改建.如圖,A、B兩地之間有一座山,汽車原來從A地到B地需途徑C地沿折線ACB行駛,現(xiàn)開通隧道后,汽車可直接沿直線AB行駛.已知BC=80千米,∠A=45°,∠B=30°.

(1)開通隧道前,汽車從A地到B地大約要走多少千米?

(2)開通隧道后,汽車從A地到B地大約可以少走多少千米?(結(jié)果精確到0.1千米)(參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖在等邊△ABC,E為邊AB上任意一點,D在邊CB的延長線上EDEC.

(1)當(dāng)點EAB的中點時(如圖1),則有AE DB(填“”“”或“)

(2)猜想AEDB的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖所示,△ABC的頂點分別為A-4, 5),B﹣32),C4,-1).

作出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1

⑵寫出A1、B1C1的坐標(biāo);

⑶若AC=10,求△ABCAC邊上的高.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠C=120°,AD=2AB=4,點H、G分別是邊CD、BC上的動點.連接AH、HG,點EAH的中點,點FGH的中點,連接EF.則EF的最大值與最小值的差為( )

A. 1 B. ﹣1 C. D. 2﹣

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度.Rt△ABC的三個頂點A(﹣2,2),B(0,5),C(0,2).

(1)將△ABC以點C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,得到△A1B1C,請畫出的圖形△A1B1C.

(2)平移△ABC,使點A的對應(yīng)點A2坐標(biāo)為(﹣2,﹣6),請畫出平移后對應(yīng)的△A2B2C2

(3)請用無刻度的直尺在第一、四象限內(nèi)畫出一個以A1B1為邊,面積是7的矩形A1B1EF.(保留作圖痕跡,不寫作法)

(4)若將△A1B1C繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】每年的6月5日為世界環(huán)保日,為了提倡低碳環(huán)保,某公司決定購買10臺節(jié)省能源的新設(shè)備,現(xiàn)有甲、乙兩種型號的設(shè)備可供選購. 經(jīng)調(diào)查:購買3臺甲型設(shè)備比購買2臺乙型設(shè)備多花16萬元,購買2臺甲型設(shè)備比購買3臺乙型設(shè)備少花6萬元.

(1)求甲、乙兩種型號設(shè)備的價格;

(2)該公司經(jīng)預(yù)算決定購買節(jié)省能源的新設(shè)備的資金不超過110萬元,你認(rèn)為該公司有哪幾種購買方案;

(3)在(2)的條件下,已知甲型設(shè)備的產(chǎn)量為240噸/月,乙型設(shè)備的產(chǎn)量為180噸/月.若每月要求總產(chǎn)量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請你為該公司設(shè)計一種最省錢的購買方案.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在△ABC中,∠ABC+.

1)求證:AB=AC;

2)如圖2,點DAC垂直平分線上一點(點DAC的右側(cè)),連接BD,∠DBC=30°,∠ABC 的平分線AEBD于點E;

①求證:ACD 為等邊三角形;

②若AE=nBE,ABC 的面積記為SABC ,BDC的面積記為SBDC,則的值為_____.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖(1),點P是等腰三角形ABC底邊BC上的一動點,過點PBC的垂線,交直線AB于點Q,交CA的延長線于點R

(1)試猜想線段ARAQ的長度之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.

(2)如圖(2),如果點P沿著底邊BC所在的直線,按由CB的方向運動到CB的延長線上時,其它條件不變,問(1)中所得的結(jié)論還成立嗎?為什么?

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