小明遇到這樣一個問題:“如圖1,在邊長為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1,當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時,求正方形MNPQ的面積.”
分析時,小明發(fā)現(xiàn),分別延長QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長線于 點R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四個全等的等腰直角三角形(如圖2)
請回答:
(1)若將上述四個等腰直角三角形拼成一個正方形(無縫隙不重疊),則這個正方形的邊長為_______
(2)求正方形MNPQ的面積.
(3)參考小明思 考問題的方法,解決問題:
如圖3,在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過點D,E,F(xiàn)作BC,AC,AB的垂線,得到等邊△RPQ.若S△RPQ=,則AD的長為_______.
(1) a;(2)2;(3) .
【解析】
試題分析:(1)四個等腰直角三角形的斜邊長為a,其拼成的正方形的面積為a2;
(2)如圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和,據(jù)此求出正方形MNPQ的面積;
(3)參照小明的鑰匙思路,對問題作同樣的等積變形,即可求解問題.
(1) a
(2) ∵四個等腰直角三角形△RQF,△SMG,△TNH,△WPE的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2,
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2;
(3)
如答圖1所示,分別延長RD,QF,PE,
交FA,EC,DB的延長線于點S,T,W.
由題意易得:△RSF,△QET,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長均等于△ABC的邊長.
所以△RSF,△QET,△PDW的面積等于△ABC的面積。
由此可得:S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,
過點A作AN⊥SD于點N,設AD=AS=x,
則AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,
∴S△ADS=SD•AN=•x•x=x2.
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,
∴=3×x2,得x2=,
解得x=或x=?(不合題意,舍去)
∴x=,即AD的長為。
考點: 四邊形綜合題.
科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市九年級4月高效課堂調(diào)研數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖1,在平面直角坐標系中,點A、C分別在y軸和x軸上,AB∥x軸,sinC=,點P從O點出發(fā),沿邊OA、AB、BC勻速運動,點Q從 點C出發(fā),以1cm/s的速度沿邊 CO勻速運動。點P與點Q同時出發(fā),其中一點到達終點,另一點也隨之停止運動.設點 P 運動的時間為t (s),△CPQ 的面積為 S(cm2), 已知S與t之間的函數(shù)關系如圖2中曲線段 OE、線段 EF與曲線段FG 給出.
(1)點P的運動速度為 cm/s, 點B、C的坐標分別為 , ;
(2)求曲線FG段的函數(shù)解析式;
(3)當t為何值時,△CPQ 的面積是四邊形OABC的面積的?
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市九年級4月高效課堂調(diào)研數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
在矩形ABCD中,已知AB=2cm,BC=3cm,現(xiàn)有一根長為2 cm的木棒EF緊貼著矩形的邊(即兩個端點始終落在矩形的邊上),按逆時針方向滑動一周,則木棒EF的中點P在運動過程中所圍成的圖形的面積為( )
A.6 cm2 B.3 cm2 C.(2+π)cm2 D.(6-π)cm2
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市九年級4月高效課堂調(diào)研數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
方程-=0的解為( )
A.x=2 B.x=-2 C.x=3 D.x=-3
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市新區(qū)九年級第一次模擬考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,點D是線段AB的中點,點C是線段AB的垂直平分線上的任意一點,DE⊥AC于點E,DF⊥BC于點F.
(1)求證:CE=CF;
(2)點C運動到什么位置時,四邊形CEDF成為正方形?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市新區(qū)九年級第一次模擬考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,⊙O的半徑為4,點A、B、C在⊙O上,且∠ACB=45°,則弦AB的長是 .
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市崇安區(qū)九年級下學期期中統(tǒng)考(一模)數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知:如圖,斜坡AP的坡度為1:2.4,坡長AP為26米,在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°,在坡頂A處測得該塔的塔頂B的仰角為76°.求:
(1)坡頂A到地面PQ的距離;
(2)古塔BC的高度(結果精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)
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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年江蘇省無錫市宜興外國語學校九年級下學期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
在函數(shù)中,自變量的取值范圍是 。
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