小明遇到這樣一個問題:“如圖1,在邊長為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1,當∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°時,求正方形MNPQ的面積.”

分析時,小明發(fā)現(xiàn),分別延長QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長線于 點R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四個全等的等腰直角三角形(如圖2)

請回答:

(1)若將上述四個等腰直角三角形拼成一個正方形(無縫隙不重疊),則這個正方形的邊長為_______

(2)求正方形MNPQ的面積.

(3)參考小明思 考問題的方法,解決問題:

如圖3,在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過點D,E,F(xiàn)作BC,AC,AB的垂線,得到等邊△RPQ.若S△RPQ=,則AD的長為_______.

 

 

(1) a;(2)2;(3) .

【解析】

試題分析:(1)四個等腰直角三角形的斜邊長為a,其拼成的正方形的面積為a2;

(2)如圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和,據(jù)此求出正方形MNPQ的面積;

(3)參照小明的鑰匙思路,對問題作同樣的等積變形,即可求解問題.

(1) a

(2) ∵四個等腰直角三角形△RQF,△SMG,△TNH,△WPE的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2,

∴S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2

(3)

如答圖1所示,分別延長RD,QF,PE,

交FA,EC,DB的延長線于點S,T,W.

 

由題意易得:△RSF,△QET,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長均等于△ABC的邊長.

所以△RSF,△QET,△PDW的面積等于△ABC的面積。

由此可得:SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS,

過點A作AN⊥SD于點N,設AD=AS=x,

則AN=AD•sin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,

∴SADS=SD•AN=x•x=x2

∴SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS

=3×x2,得x2=,

解得x=或x=?(不合題意,舍去)

∴x=,即AD的長為。

考點: 四邊形綜合題.

 

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(1)點P的運動速度為 cm/s, 點B、C的坐標分別為 , ;

(2)求曲線FG段的函數(shù)解析式;

(3)當t為何值時,CPQ 的面積是四邊形OABC的面積的

 

 

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A.x=2 B.x=2 C.x=3 D.x=-3

 

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(2)點C運動到什么位置時,四邊形CEDF成為正方形?請說明理由.

 

 

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