Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，

且DM⊥DN，作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E。

（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點，求證：DM=DN，AE=DF；

（2）拓展探究：若AC≠BC。

①如圖2，若D為AB中點，（1）中的兩個結(jié)論有一個仍成立，請指出并加以證明；

②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，請?zhí)骄?/span>AE與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明。

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）拓展探究見解析．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，連接CD，證明△AND≌△CMD，可得DN=DM；證明△NED≌△DFM，可得DF=NE，從而得到AE=NE=DF；

（2）①若D為AB中點，則分別證明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由線段比例關(guān)系可以證明AE=DF結(jié)論依然成立．

②若BD=kAD，證明思路與①類似．

（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，

如圖1所示，

連接CD，則CD⊥AB，

又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND與△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），

∴DN=DM．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED與△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE為等腰直角三角形，

∴AE=NE，

∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．

由（1）證明可知：△DEN∽△MFD

∴，即MF•EN=DE•DF．

同理△AEN∽△MFB，

∴，即MF•EN=AE•BF．

∴DE•DF=AE•BF，

∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），

∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．

②答：DF=kAE．

由①同理可得：DE•DF=AE•BF，

∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD）

∴AD•DF=AE•BD

∵BD=kAD

∴DF=kAE．

考點：相似形綜合題．