Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB =AC=2，∠B = 40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，作∠ADE = 40°，DE交線段AC于點(diǎn)E．

（1）當(dāng)∠BDA = 115°時(shí)，∠BAD= °，∠DEC = °，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠BDA逐漸變 （填“大”或“小”） ．

（2）當(dāng)DC等于多少時(shí)，△ABD≌△DCE？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在△ADE是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)∠BDA的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，115，小；（2）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD ≌△DCE，理由見(jiàn)解析；（3）存在．∠BDA=110°或80°．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和計(jì)算∠BAD，再由三角形的一個(gè)外等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求∠EDC，從而可得∠DEC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷∠BDA的大小變化.

（2）在（1）中可得到這兩個(gè)三角形的三個(gè)角都相等，只要有一條邊對(duì)應(yīng)相等即可，而已知AB=2，所以CD=2.

（3）假設(shè)等腰△ADE存在，因?yàn)榈走叢淮_定，所以需要分三種情況討論，求出∠BDA的度數(shù)后要檢驗(yàn).

試題解析：

（1）∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-40°-115°=25°.

∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴40°+∠EDC=40°+∠BAD，∴∠EDC=∠BAD.

∴∠DEC=180°-∠C-∠EDC=180°-40°-25°=115°.

∵在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)于△ABD，∠B=40°不變，∠BAD逐漸變大，

∴∠ADB逐漸變小.

（2）當(dāng)DC=2時(shí)，△ABD≌△DCE，理由如下：

在△ABD和△DCE中，

因?yàn)椤螧=∠C，∠BAD=∠CDE，已經(jīng)有了兩個(gè)角分別相等，所以只需要一邊對(duì)應(yīng)相等即可.

AB=AC=2，當(dāng)DC=AB時(shí)，則可用ASA證明這兩個(gè)三角形全等.

（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在△ADE是等腰三角形。理由如下：

①當(dāng)DA=DE時(shí)，∠DAE=（180°-∠ADE）÷2=（180°-40°）÷2=70°.

所以∠BDA=∠C+∠DAE=40°+70°=110°.

②當(dāng)AD=AE時(shí)，∠DAE=180°-2×40°=100°，

所以∠BDA=∠C+∠DAE=40°+100°=140°，

但∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-∠BAD，所以∠BDA＜140°，

所以AD=AE不存在.

③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠DAE=∠EDA=40°，

所以∠BDA=∠DAE+∠C=40°+40°=80°.

綜上所述，∠BDA=110°或80°.