Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，﹣4）和B（2，0）兩點(diǎn)．

（1）求c的值及a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若拋物線在A和B兩點(diǎn)間，y隨x的增大而增大，求a的取值范圍；

（3）拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的點(diǎn)M（p，m），N（﹣2﹣p，n）．

①若m＝n，求a的值；

②若m＝﹣2p﹣3，n＝2p+1，點(diǎn)M在直線y＝﹣2x﹣3上，請(qǐng)驗(yàn)證點(diǎn)N也在y＝﹣2x﹣3上并求a的值．

Answer 1

【答案】（1）c＝﹣4，2a+b＝2；（2）0＜a≤1；（3）①a=；②見(jiàn)解析，a=1．

【解析】

（1）令x＝0，則c＝4，將點(diǎn)B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋c可得2a＋b＝2；

（2）由已知可知拋物線開(kāi)口向上，a＞0，對(duì)稱軸x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，即可求a的范圍；

（3）①m＝n時(shí)，M（p，m），N（2p，n）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則有1＝1；②將點(diǎn)N（2p，n）代入y＝2x3等式成立，則可證明N點(diǎn)在直線上，再由直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)是M、N，則有根與系數(shù)的關(guān)系可得p＋（2p）＝，即可求a．

（1）令x＝0，則c＝﹣4，

將點(diǎn)B（2，0）代入y＝ax2+bx+c可得4a+2b﹣4＝0，

∴2a+b＝2；

（2）∵拋物線在A和B兩點(diǎn)間，y隨x的增大而增大，

∴拋物線開(kāi)口向上，

∴a＞0，

∵A（0，﹣4）和B（2，0），

∴對(duì)稱軸x＝﹣＝﹣＝1﹣≤0，

∴0＜a≤1；

（3）①當(dāng)m＝n時(shí)，M（p，m），N（﹣2﹣p，n）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴對(duì)稱軸x＝1﹣＝﹣1，

∴a＝；

②將點(diǎn)N（﹣2﹣p，n）代入y＝﹣2x﹣3，

∴n＝4+2p﹣3＝1+2p，

∴N點(diǎn)在y＝﹣2x﹣3上，

聯(lián)立y＝﹣2x﹣3與y＝ax2+（2﹣2a）x﹣4有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

∴ax2+（4﹣2a）x﹣1＝0，

∵p+（﹣2﹣p）＝-=，

∴a＝1．