Question

【題目】在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切；
（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：∵M(jìn)N∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．

∴△AMN∽△ABC．

∴ ，即 ；

∴AN= x；

∴S=S△MNP=S△AMN= xx= x2．（0＜x＜4）

（2）解：如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連接AO，OD，則AO=OD= MN．

在Rt△ABC中，BC= =5；

由（1）知△AMN∽△ABC，

∴ ，即 ，

∴MN= x

∴OD= x，

過M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則MQ=OD= x，

在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA，

∴ ，

∴BM= x，AB=BM+MA= x+x=4

∴x= ，

∴當(dāng)x= 時(shí)，⊙O與直線BC相切；

（3）解：隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連接AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．

∵M(jìn)N∥BC，

∴∠AMN=∠B，∠AOM=∠APB，

∴△AMO∽△ABP，

∴ ，

∵AM=MB=2，

故以下分兩種情況討論：

①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=S△PMN= x2，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y最大= ×4= ，

②當(dāng)2＜x＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F(xiàn)，

∵四邊形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN=AM=x，

又∵M(jìn)N∥BC，

∴四邊形MBFN是平行四邊形；

∴FN=BM=4﹣x，

∴PF=x﹣（4﹣x）=2x﹣4，

又∵△PEF∽△ACB，

∴ ，

∴S△PEF= （x﹣2）2；

y=S△MNP﹣S△PEF= x2﹣ （x﹣2）2=﹣ x2+6x﹣6，

當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=﹣ x2+6x﹣6=﹣ （x﹣ ）2+2，

∴當(dāng)x= 時(shí)，滿足2＜x＜4，y最大=2．

綜上所述，當(dāng)x= 時(shí)，y值最大，最大值是2．

【解析】（1）由MN∥BC，得到△AMN∽△ABC，得到比例，求出S=S△MNP=S△AMN的代數(shù)式；（2）當(dāng)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D時(shí)，根據(jù)勾股定理在Rt△ABC中，求出BC的值，由（1）知△AMN∽△ABC，得到比例，在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，得到∴△BMQ∽△BCA，得到比例，求出x的值；（3）由MN∥BC，得到△AMO∽△ABP，得到比例，由△MNP與梯形BCNM重合的面積為y，討論得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，求出y的最大值；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)．