Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的兩邊、分別在軸、軸的正半軸上，，.點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是秒．將線段的中點(diǎn)繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得點(diǎn)，點(diǎn)隨點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接、，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．

（1）求證：∽；

（2）請(qǐng)用含的代數(shù)式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）求為何值時(shí)，的面積最大，最大為多少？

（4）在點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)與點(diǎn)所在的直線能否平分矩形的面積？若能，求的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）當(dāng)時(shí)，S最大；（4）能，．

【解析】

（1）根據(jù)余角的性質(zhì)可得，進(jìn)一步即可證得結(jié)論；

（2）由題意得，，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DQ、PQ的長，進(jìn)而可得結(jié)果；

（3）先用含t的代數(shù)式表示出的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

（4）若點(diǎn)與點(diǎn)所在的直線平分矩形的面積，則直線AD必過點(diǎn)C，故只要根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入即可求出相應(yīng)的t的值．

（1）證明：∵四邊形是矩形，，

∴，，

∵，∴，

∴，

∴∽；

（2）解：由題意知：點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，

∴，∴，

∵∽，，

∴，

∴，，

∴點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）解：∵，，∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，S最大；

（4）解：能．當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)所在的直線平分矩形的面積．

∵，，∴點(diǎn)，，

設(shè)直線的解析式為：，把A、C兩點(diǎn)代入，得：，解得：，

∴直線的解析式為：，

∵點(diǎn)在直線上，∴，解得：.