Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C（3，0），且圖象過點(diǎn)D（2，3），連結(jié)AD，點(diǎn)P是線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸平行線分別交拋物線和x軸于點(diǎn)E，F．連結(jié)AE，過點(diǎn)F作FG//AE交AD的延長線于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若tan∠G＝，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)△AFG是直角三角形時(shí)，求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（3）DG＝．

【解析】

（1）由C（3，0）、D（2，3）兩點(diǎn)坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解析式；

（2）由平行線的性質(zhì)可得∠EAP＝∠G，則tan∠EAP＝tan∠G＝，利用（1）中的函數(shù)解析式設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，－m2＋2m＋3），在利用正切函數(shù)得到關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得解；

（3）根據(jù)已知條件點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，當(dāng)△AFG是直角三角形時(shí)，易得△APE∽△FPA，在（2）的基礎(chǔ)上利用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于m的方程，從而求得PE、AP、PG以及AD的長，進(jìn)一步計(jì)算即可得解．

解：（1）把C（3，0）、D（2，3）代入

得：，

解得：a＝－1，b＝2，

則

（2）∵FG//AE，

∴∠EAP＝∠G

∴tan∠EAP＝tan∠G＝

∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），PF//y軸

∴PF＝3，∠APE＝90°

設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，－m2＋2m＋3）

∴AP＝m，PE＝－m2＋2m

∴，解得：m1＝0（舍去），m2＝

∴點(diǎn)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

（3）點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，當(dāng)△AFG是直角三角形時(shí)，∠AFG＝90°

∴∠EAF＝90°，易知△APE∽△FPA

∴，，解得：m1＝0（舍去），m2＝

∴AP＝，PE＝

∵tan∠EAP＝tan∠G

∴，

∴PG＝6，

∴DG＝PG+AP-AD=6＋－2＝

故答案是：（1）；（2）點(diǎn)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（3）DG＝