【題目】在△ABC中,點O是邊AC的中點,分別過點A、C作射線BO的垂線,E、F是垂足.
(1)如圖1,求證:四邊形AECF是平行四邊形;
(2)如圖2,若,,,求線段的長.
【答案】(1)見解析;(2)CF=2.
【解析】
(1)根據(jù)AAS先證明△AOE≌△COF,從而得出EO=FO,結(jié)合AO=CO即可得出結(jié)論;
(2)先根據(jù)已知求出AO,CO的長,過點B作BH⊥AC于點H,在Rt△BCH中,根據(jù),結(jié)合勾股定理可得出BH,CH的長,進而可求出HO的長.再在Rt△BOH中,可得出tan∠BOH=,從而在Rt△AEO中,tan∠AOE=tan∠BOH=,結(jié)合AO的長,可以求出AE的長,由CF=AE可得出結(jié)果.
(1)證明:∵O為AC的中點,∴AO=CO.
又AE⊥BO,CF⊥BO,∴∠AEO=∠CFO=90°,
又∠AOE=∠FOC,∴△AOE≌△COF(AAS),
∴EO=FO,
又AO=CO,
∴四邊形AECF是平行四邊形;
(2)解:∵AC=BC,
∴AO=CO=AC=.
過點B作BH⊥AC于點H,
在Rt△BCH中,tan∠BCH=,
設(shè)BH=3x,則CH=4x,∴BC==5x=,
∴x=,∴BH=,CH=,
∴HO=HC-OC=,
在Rt△BOH中,tan∠BOH=,
在Rt△AEO中,tan∠AOE=tan∠BOH=,
設(shè)OE=y,則AE=2y,AO=,
∴y=1,∴AE=2,
又由(1)知四邊形AECF是平行四邊形,
∴CF=AE=2.
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【題目】如圖,在⊙中,AB是直徑,BC是弦,BC=BD,連接CD交⊙于點E,∠BCD=∠DBE.
(1)求證:BD是⊙的切線.
(2)過點E作EF⊥AB于F,交BC于G,已知DE=,EG=3,求BG的長.
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【題目】如圖1,我國古建筑的大門上常常懸掛著巨大的匾額,圖2中的線段就是懸掛在墻壁上的某塊匾額的截面示意圖.已知米,.從水平地面點處看點,仰角,從點處看點,仰角.且米,求匾額懸掛的高度的長.(參考數(shù)據(jù):,,)
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【題目】在一個不透明的口袋中裝有5個紅球、3個白球,這些球除顏色外其他都相同,在看不到球的條件下,隨機地從這個袋子中摸出兩個球,摸到的兩個球都是紅球的概率是_____.
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【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,AE是⊙O的弦,C是弧AE的中點,弦CG⊥AB于點D,交AE于點F,過點C作⊙O的切線,交BA延長線于點P,連接BE
(1)求證:PC∥AE;
(2)若sin∠P=,CF=5,求BE的長.
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【題目】為提高學(xué)生身體素質(zhì),某校決定開展足球、籃球、排球、兵乓球等四項課外體育活動,要求全員參與,并且每名學(xué)生只能選擇其中一項.為了解選擇各種體育活動項目的學(xué)生人數(shù),該校隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查,并繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)統(tǒng)計圖回答下列問題:
(1)直接寫出這次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù);
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該學(xué)??cè)藬?shù)是1500人,請估計選擇籃球項目的學(xué)生約有多少人?
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.
(1)求證:△ADF∽△DEC;
(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的長;
(3)若CD=CE,則直線CD是以點E為圓心,AE長為半徑的圓的切線.試證明之.
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