Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3）．過點(diǎn)D（0，5）和E（10，0）的直線分別與AB，BC交于點(diǎn)M，N．
（1）求直線DE的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M．求該反比例函數(shù)的解析式，并通過計(jì)算判斷點(diǎn)N是否在該函數(shù)的圖象上；
（3）若反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象與△MNB有公共點(diǎn)，請直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，直接把點(diǎn)D，E代入解析式利用待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式，先根據(jù)矩形的性質(zhì)求得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)解析式求得其橫坐標(biāo)即可；
（2）利用點(diǎn)M求得反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式判斷是否成立即可；
（3）滿足條件的最內(nèi)的雙曲線的m=12外的雙曲線的m=18，以可得其取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)D，E的坐標(biāo)為（0，5）、（10，0），
∴

b=5 10k+b=0

；
解得k=-

1

2

，b=5；
∴y=-

1

2

x+5；
∵點(diǎn)M在AB邊上，B（6，3），而四邊形OABC是矩形，
∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為3；
又∵點(diǎn)M在直線 y=-

1

2

x+5上，
∴3=-

1

2

x+5；
∴x=4；
∴M（4，3）；

（2）∵y=

m

x

（x＞0）經(jīng)過點(diǎn)M（4，3），
∴m=12；
∴y=

12

x

；
又∵點(diǎn)N在BC邊上，B（6，3），
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為6；
∵點(diǎn)N在直線 y=-

1

2

x+5上，
∴y=2，
∴N（6，2）
∵當(dāng)x=6，y=2
∴點(diǎn)N在函數(shù)y=

12

x

的圖象上；

（3）當(dāng)反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M（4，3），N（6，2）時(shí)，m的值最小，此時(shí)m=xy=12，
當(dāng)反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象通過B（6，3）時(shí)，m的值最大，此時(shí)m=xy=18，
∴12≤m≤18．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意反比例函數(shù)上的點(diǎn)與反比例函數(shù)的k值之間的關(guān)系，并會(huì)根據(jù)函數(shù)解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)驗(yàn)證某個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上．