Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），把△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△A′BO′，點(diǎn)A，O旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，O′，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）如圖①，若α=90°，求AA′的長(zhǎng)；

（2）如圖②，若α=120°，求點(diǎn)O′的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，邊OA上 的一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′，當(dāng)O′P+BP′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P′的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】(1)、5；(2)、()；(3)、(，)

【解析】試題分析：(1)、如圖①，先利用勾股定理計(jì)算出AB=5，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BA=BA′，∠ABA′=90°，則可判定△ABA′為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AA′的長(zhǎng)；(2)、作O′H⊥y軸于H，如圖②，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，則∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出BH和O′H的長(zhǎng)，然后利用坐標(biāo)的表示方法寫(xiě)出O′點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)、由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BP=BP′，則O′P+BP′=O′P+BP，作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn)，如圖②，易得O′P+BP=O′C，利用兩點(diǎn)之間線段最短可判斷此時(shí)O′P+BP的值最小，接著利用待定系數(shù)法求出直線O′C的解析式為y=x﹣3，從而得到P（，0），則O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后確定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計(jì)算出P′D和DO′的長(zhǎng)，從而可得到P′點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：(1)、如圖①， ∵點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB==5，

∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△A′BO′， ∴BA=BA′，∠ABA′=90°，

∴△ABA′為等腰直角三角形， ∴AA′=BA=5；

(2)、作O′H⊥y軸于H，如圖②， ∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，

∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°， ∴∠HBO′=60°， 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，

∴BH=BO′=，O′H=BH=， ∴OH=OB+BH=3+， ∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（）；

（3）∵△ABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得△A′BO′，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′， ∴BP=BP′，

∴O′P+BP′=O′P+BP， 作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連結(jié)O′C交x軸于P點(diǎn)，如圖②，

則O′P+BP=O′P+PC=O′C，此時(shí)O′P+BP的值最小， ∵點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)， ∴C（0，﹣3），

設(shè)直線O′C的解析式為y=kx+b，

把O′（），C（0，﹣3）代入得，解得，

∴直線O′C的解析式為y=x﹣3， 當(dāng)y=0時(shí)，x﹣3=0，解得x=，則P（，0），

∴OP=， ∴O′P′=OP=， 作P′D⊥O′H于D，

∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°， ∴∠DP′O′=30°，

∴O′D=O′P′=，P′D=， ∴DH=O′H﹣O′，

∴P′點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．