Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線(xiàn)上，AE=BF．
（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形；
（2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．

∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°．

∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，

∴Rt△ADE≌Rt△BCF．

∴∠1=∠F．

∴AE∥BF．

∵AE=BF，

∴四邊形ABFE是平行四邊形

（2）解：∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠1=90°．

∵∠BEF=∠DAE，

∴∠BEF+∠1=90°．

∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，

∴∠AEB=90°．

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，

AB= ．

∵四邊形ABFE是平行四邊形，

∴EF=AB=5

【解析】（1）欲證明四邊形ABFE是平行四邊形，只要證明AE∥BF，EF∥AB即可．（2）先證明△AEB是直角三角形，再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行四邊形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握若一直線(xiàn)過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則這條直線(xiàn)被一組對(duì)邊截下的線(xiàn)段以對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線(xiàn)二等分此平行四邊形的面積；矩形的四個(gè)角都是直角，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等即可以解答此題．