Question

如圖1，點M（a，b）在第三象限，且a=2

b+4

+3

-8-2b

-4，過O、M兩點作圓分別與x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸交于A、B兩點，連接OM、AB．
（1）求M點的坐標(biāo)；
（2）求OA+OB的值；
（3）如圖2，若點C在弧AO上，BC交OM于D，且CO=CD，DH⊥AB于H，當(dāng)過O、M兩點的圓的大小發(fā)生變化時，下列結(jié)論：①DH+

1

2

AB的值不變；②DH+AB的值不變，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你判斷正確的結(jié)論并予以證明．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次根式有意義的條件可以求得a、b的值，即可求出點M的坐標(biāo)；
（2）連接AM，BM，作MD⊥AO，MC⊥OB，由題意可知M在第三象限的角平分線上，所以∠AOM=∠BOM=45°，則OD=MD=4，MC=OC=4，再通過證明△DAM≌△CMB即可得到DA=BC，
所以O(shè)A+OB=8；
（3）先證出D為△BOA內(nèi)心，再過點D作DF⊥OA于點F，DE⊥BO于點E，得出四邊形EOFD是正方形，即可證出OA+OB=2HD+AB，再過點M做MG⊥x軸，MN⊥y軸，垂足分別為G，N，
證出△BMN≌△AMG，即可得出OB+OA=8，從而得出①的值不變．

解答：解：（1）∵a=2

b+4

+3

-8-2b

-4，
∴

b+4≥0 -8-2b≥0

，
∴b=-4，
∴a=-4，
∴M點的坐標(biāo)（-4，-4）；

（2）如圖1，連接AM，BM，作MD⊥AO，MC⊥OB，
∵M（-4，-4）
∴M在第三象限的角平分線上，
∴∠AOM=∠BOM=45°，
∴OD=MD=4，MC=OC=4，
∵∠MAB=∠MBA=45°
∴AM=BM，
∴△DAM≌△CMB，
∴AD=BC，
∴OA+OB=DO-AD+OC+BC=2DO=8；

（3）①DH+

1

2

AB的值不變，
理由如下：如圖2，
∵CO=CD，∠ODC=∠D0C，
∴∠ODC=45°+∠OBC，∠D0C=45°+∠AOC=45°+∠ABC，
∴∠OBC=∠ABC，D為△BOA內(nèi)心，
過點D作DF⊥OA于點F，DE⊥BO于點E，
∴DH=DE=DF，BH=BE，AH=AF，
∠DEO=∠EOF=∠OFD=90°，
∴四邊形EOFD是正方形，
∴BE+AF=BH+AF=AB，
∴OA+OB=OE+BE+OF+AF=DH+BE+DH+AF=2HD+AB，
過點M作MG⊥x軸，MN⊥y軸，垂足分別為G，N，
則MG=MN=4，
∴ON=OG=4，
又∵∠BAM=∠BOM=45°，
∠ABM=∠MOA=45°，
∴∠ABM=∠BAM，
∴MB=MA，
∴△BMN≌△AMG，
∴BN=AG，
∴OB+OA=ON+BN+OA=ON+AG+OA=ON+OG=4+4=8，
∴2HD+AB=8，
HD+

1

2

AB=4，
故①DH+

1

2

AB的值不變．

點評：此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、二次根式有意義的條件等，題目的綜合性很強，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．