【題目】如圖,BE是⊙O的直徑,點A和點D是⊙O上的兩點,連接AE,AD,DE,過點A作射線交BE的延長線于點C,使∠EAC=∠EDA.
(1)求證:AC是⊙O的切線;
(2)若CE=AE=2,求陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析;(2)2π-
【解析】
(1)連接OA,過O作OF⊥AE于f,得到∠EAO+∠AOF=90°,根據(jù)等腰三角形的性質和圓周角定理得到∠EDA=∠AOF,推出OA⊥AC,得到AC是⊙O的切線;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質得到∠C=∠EAC,得到∠AEO=2∠EAC,推出△OAE是等邊三角形,根據(jù)扇形的面積公式得到S扇形AOE=π,求得S△AOE=AEOF=××3=,于是得到結論.
解:(1)證明:連接OA,過O作OF⊥AE于F,
∴∠AFO=90°,
∴∠EAO+∠AOF=90°,
∵OA=OE,
∴∠EOF=∠AOF=∠AOE,
∵∠EDA=∠AOE,
∴∠EDA=∠AOF,
∵∠EAC=∠EDA,
∴∠EAC=∠AOF,
∴∠EAO+∠EAC=90°,
∵∠EAC+∠EAO=∠CAO,
∴∠CAO=90°,
∴OA⊥AC,
∴AC是⊙O的切線;
(2)解:∵CE=AE=,
∴∠C=∠EAC,
∵∠EAC+∠C=∠AEO,
∴∠AEO=2∠EAC,
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAO,
∴∠EAO=2∠EAC,
∵∠EAO+∠EAC=90°,
∴∠EAC=30°,∠EAO=60°,
∴△OAE是等邊三角形,
∴OA=AE,∠EOA=60°,
∴OA=,
∴S扇形AOE==2π,
在Rt△OAF中,OF=OAsin∠EAO=×=3,
∴S△AOE=AEOF=××3=,
∴陰影部分的面積=2π-.
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【題目】如圖,在電線桿CD上的C處引拉線CE、CF固定電線桿,拉線CE和地面所成的角∠CED=60°,在離電線桿9m的B處安置高為1.5m的測角儀AB,在A處測得電線桿上C處的仰角為30°,求拉線CE的長.(結果保留根號)
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【題目】如圖,MN是⊙O的直徑,MN=2,點A在⊙O上,∠AMN=30°,B為的中點,P是直徑MN上一動點,則PA+PB的最小值為( )
A. B. C. 1 D. 2
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【題目】如圖,在菱形中,已知,,,點在的延長線上,點在的延長線上,有下列結論:①;②;③;④若,則點到的距離為.則其中正確結論的個數(shù)是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】現(xiàn)有五個小球,每個小球上面分別標著 1,2,3,4,5 這五個數(shù)字中的一個,這些小球除標的數(shù)字不同以外,其余的全部相同.把分別標有數(shù)字 4、5 的兩個小球放入不透明的口袋 A 中,把分別標有數(shù) 字 1、2、3 的三個小球放入不透明的口袋 B 中.現(xiàn)隨機從 A 和 B 兩個口袋中各取出一個小球,把 從 A 口袋中取出的小球上標的數(shù)字記作 m,從B口袋中取出的小球上標的數(shù)字記作 n,且 m-n=k,則 y 關于 x 的二次函數(shù) 與 x 軸有交點的概率是_________________.
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【題目】小東同學根據(jù)函數(shù)的學習經驗,對函數(shù)y 進行了探究,下面是他的探究過程:
(1)已知x=-3時 0;x=1 時 0,化簡:
①當x<-3時,y=
②當-3≤x≤1時,y=
③當x>1時,y=
(2)在平面直角坐標系中畫出y 的圖像,根據(jù)圖像,寫出該函數(shù)的一條性質.
(3)根據(jù)上面的探究解決,下面問題:
已知A(a,0)是x軸上一動點,B(1,0),C(-3,0),則AB+AC的最小值是
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置,連接C′B,求C′B的長度.
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【題目】如圖,點A是射線y═(x≥0)上一點,過點A作AB⊥x軸于點B,以AB為邊在其右側作正方形ABCD,過點A的雙曲線y=交CD邊于點E,則的值為_____.
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