Question

【題目】已知，拋物線y＝ax2+2ax+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC＝3OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，如圖所示，若點(diǎn)D是第三象限方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，三角形ADC的面積為S，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量m的取值范圍；請(qǐng)問當(dāng)m為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3;(2) S=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）;當(dāng)m=﹣時(shí)，S取最大值，最大值為.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)及OC=3OB可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交AC于點(diǎn)E，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而即可得出線段AC所在直線的解析式，由點(diǎn)D的橫坐標(biāo)可找出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式即可得出S與m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可找出S的最大值．

（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3OB，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）或（0，﹣3），

將點(diǎn)B（1，0）、C（0，3）或（0，﹣3）代入y=ax2+2ax+c，

或

解得： 或，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3或y=x2+2x﹣3．

（2）過點(diǎn)D作DE⊥x軸，交AC于點(diǎn)E，如圖所示．

∵a＞0，

∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3）．

當(dāng)y=0時(shí)，有x2+2x﹣3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），

利用待定系數(shù)法可求出線段AC所在直線的解析式為y=﹣x﹣3．

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，m2+2m﹣3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，﹣m﹣3），

∴DE=﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）=﹣m2﹣3m，

∴S=DE×|﹣3﹣0|=﹣（m2+3m）（﹣3＜m＜0）．

∵﹣＜0，且S=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+，

∴當(dāng)m=﹣時(shí)，S取最大值，最大值為．