【題目】拋物線y=﹣x2平移后的位置如圖所示,點A,B坐標分別為(﹣1,0)、(3,0),設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點C,其頂點為D.

(1)求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標;
(2)∠ACB和∠ABD是否相等?請證明你的結(jié)論;
(3)點P在平移后的拋物線的對稱軸上,且△CDP與△ABC相似,求點P的坐標.

【答案】
(1)

解:∵將拋物線y=﹣x2平移,平移后的拋物線與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(3,0),

∴平移后的拋物線的表達式為y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,即y=﹣x2+2x+3,

∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

∴頂點D的坐標為(1,4);


(2)

解:∠ACB與∠ABD相等,理由如下:

如圖,

∵y=﹣x2+2x+3,

∴點x=0時,y=3,即C點坐標為(0,3),

又∵B(3,0),∠BOC=90°,

∴OB=OC,∠OBC=∠OCB=45°.

在△BCD中,∵BC2=32+32=18,CD2=12+12=2,BD2=22+42=20,

∴BC2+CD2=BD2

∴∠BCD=90°,

∴tan∠CBD=

∵在△AOC中,∠AOC=90°,

∴tan∠ACO= = ,

∴tan∠ACO=tan∠CBD,

∴∠ACO=∠CBD,

∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,

即∠ACB=∠ABD;


(3)

解:

∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上,而y=﹣x2+2x+3的對稱軸為x=1,

∴可設(shè)P點的坐標為(1,n).

∵△ABC是銳角三角形,

∴當△CDP與△ABC相似時,△CDP也是銳角三角形,

∴n<4,即點P只能在點D的下方,

又∵∠CDP=∠ABC=45°,

∴D與B是對應(yīng)點,分兩種情況:

① 如果△CDP∽△ABC,那么

,

解得n= ,

∴P點的坐標為(1, );

② 如果△CDP∽△CBA,那么 ,

解得n= ,

∴P點的坐標為(1, ).

綜上可知P點的坐標為(1, )或(1, ).


【解析】(1)根據(jù)平移不改變二次項系數(shù)a的值,且平移后的拋物線與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(3,0),可知平移后拋物線的表達式為y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3,再運用配方法化為頂點式,即可求出頂點D的坐標;(2)先由B、C兩點的坐標,得出∠OBC=∠OCB=45°,再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,則由正切函數(shù)的定義求出tan∠CBD= ,在△AOC中,由正切函數(shù)的定義也求出tan∠ACO= ,得出∠ACO=∠CBD,則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACB=∠ABD;(3)設(shè)P點的坐標為(1,n),先由相似三角形的形狀相同,得出△CDP是銳角三角形,則n<4,再根據(jù)∠CDP=∠ABC=45°,得到D與B是對應(yīng)點,所以分兩種情況進行討論:①△CDP∽△ABC;
②△CDP∽△CBA.根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于n的方程,解方程即可.

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