Question

【題目】探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品——圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學知識呢?下面就請你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題:

(1)觀察“規(guī)形圖”，試探究與之間的關(guān)系，并說明理由;

(2)請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題:

①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若，則________;

②如圖3，DC平分，EC平分，若，求的度數(shù);

③如圖4，的10 等分線相交于點，若，求∠A的度數(shù).

Answer 1

【答案】（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C,理由見解析；（2）①∠ABX+∠ACX=50°；②85°；③63°.

【解析】

（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC=∠A+∠B+∠C;

（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根據(jù)∠A=40°，∠BXC=90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．

②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．

③根據(jù)∠BG1C=（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C=70°，設∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD=133°-x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．

解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，
，

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C．

（2）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°．

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°，

∴ （∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°，

∴∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠DAE

=45°+40°

=85°．

③∠BG1 C= （∠ABD+∠ACD）+∠A，

∵∠BG1 C=70°，

∴設∠A為x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x°

∴ （133-x）+x=70，

∴13.3- x+x=70，

解得x=63，即∠A的度數(shù)為63°．