Question

【題目】已知正方形ABCD中，，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、或它們的延長線于點M、N，當繞點A旋轉(zhuǎn)到時如圖，則

線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是______；

當繞點A旋轉(zhuǎn)到時如圖，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；

當繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）（2）猜想：，詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

(1)連接AC，交MN于點G，則可知AC垂直平分MN，結(jié)合∠MAN=45°，可證明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出結(jié)論；

(2)在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE，則可證明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，進一步可證明△AEM≌△ANM，可得結(jié)論BM+DN=MN；

(3)在DC上截取DF=BM，連接AF，可先證明△ABM≌△ADF，進一步可證明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，從而可得到DN-BM=MN．

如圖1，連接AC，交MN于點G，

四邊形ABCD為正方形，

，且，

，且AC平分，

，且，

，

，即，

，

在和中

，

≌，

，同理可得，

，

故答案為：；

猜想：，證明如下：

如圖2，在MB的延長線上，截取，連接AE，

在和中，

，

≌，

，，

，，

，

，

，

在和中

，

≌，

，

又，

；

，證明如下：

如圖3，在DC上截取，連接AF，

和中，

，

≌，

，，

，即，

，

，

在和中

，

≌，

，

，

．