Question

如圖，已知射線AB與x軸和y軸分別交于點A（-3，0）和點B（0，3

3

）．動點P從點A出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向右作勻速運動，過點P作PQ⊥AB于Q．設(shè)運動時間為t秒，且第一象限內(nèi)有點N（n，n-2）．
（1）當(dāng)n=3時，若PQ恰好經(jīng)過點N，求t的值；
（2）連接BP，記△BPQ面積為S_△BPQ，△ABP面積為S_△ABP．
①當(dāng)S_△BPQ≤

1

2

S_△ABP時，求t的取值范圍；
②當(dāng)S_△BPQ=

1

3

S_△ABP時，記Q（a，b），若（a-n）²+（b-n+2）²取得最小值時，求直線QN的解析式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）構(gòu)造如下草圖分析，由點A（-3，0）和點B（0，3

3

），得出，∠BAO=60°，得出在Rt△PNH中，∠NPH=30°，NH=1，PH=

3

，進(jìn)一步利用OH=x_N=3，OA=3，求得答案即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)S_△BPQ=

1

2

S_△ABP，②當(dāng)S_△BPQ=

1

3

S_△ABP時；在分別按點Q在點B下方時，當(dāng)點Q在點B上方時，探討得出答案即可．

解答：解：（1）如圖

由點A（-3，0）和點B（0，3

3

），
在Rt△PNH中，∠BAO=60°．
當(dāng)n=3時，點N（3，1）．
在Rt△PNH中，∠NPH=30°，NH=1，PH=

3

，
又OH=x_N=3，OA=3，
∴AP=6+

3

．
即t=6+

3

．

（2）①當(dāng)S_△BPQ=

1

2

S_△ABP時，由于兩個三角形同高，即有BQ=

1

2

AB，
需要考慮兩種可能：
當(dāng)點Q在點B下方時，點Q為線段AB的中點，此時容易出求AP=2AQ=6，即t=6，
當(dāng)點Q在點B上方時，AQ=9，此時容易出求AP=2AQ=18，即t=18，
相應(yīng)的，當(dāng)S_△BPQ≤

1

2

S_△ABP時，求t的取值范圍是6≤t≤18．
②當(dāng)S_△BPQ=

1

3

S_△ABP時，由（2）①中的方法可求出BQ=2，相應(yīng)點Q有兩個可能的坐標(biāo)是（-1，2

3

）、（1，4

3

）．
由代數(shù)式（a-n）²+（b-n+2）²的特點，本質(zhì)上求點Q到點N的最小距離，而點N（n，n-2）在直線y=x-2，也就是點Q到直線y=x-2的距離就是QN的最小值．
（Ⅰ）當(dāng)點Q（-1，2

3

）時，作QN⊥直線y=x-2于點N，此時N（

2 3 +1

2

，

2 3 -3

2

），
根據(jù)待定系數(shù)法求出直線QN的解析式為y=-x+2

3

-1．
（Ⅱ）當(dāng)點Q（1，4

3

）時，作QN⊥直線y=x-2于點N，此時N（

4 3 +3

2

，

4 3 -1

2

），
根據(jù)待定系數(shù)法求出直線QN的解析式為y=-x+4

3

+1．
綜上，直線QN的解析式為y=-x+2

3

-1或y=-x+4

3

+1．

點評：此題考查一次函數(shù)的綜合運用，分別將兩種可能的坐標(biāo)代入代數(shù)式整得出關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的最值分析求出點Q的坐標(biāo)實現(xiàn)問題求解．