【題目】已知拋物線交x軸于AB兩點(diǎn)(AB右邊),A30),B10)交y軸于C點(diǎn),C03),連接AC;

1)求拋物線的解析式;

2P為拋物線上的一點(diǎn),作PECAE點(diǎn),且CE=3PE,求P點(diǎn)坐標(biāo);

3)將原拋物線向上平移1個(gè)單位拋物線的對(duì)稱軸交x軸于H點(diǎn),過H作直線MHNH,當(dāng)MHNH時(shí),求MN恒過的定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】1y=x24x+3;(2)(2,﹣1)或(,);(3MN恒過的定點(diǎn)(2,1

【解析】

1)用待定系數(shù)解答便可;

2)分兩種情況:P點(diǎn)AC的上方,點(diǎn)PAC的下方.過點(diǎn)PPDx軸于點(diǎn)D,過EEFy軸于F,與PD交于點(diǎn)G,證明EF=3EG,設(shè)EG=m,用m的代數(shù)式表示P點(diǎn)的橫縱坐標(biāo),再代入二次函數(shù)解析式,便可求得m的值,進(jìn)而得P點(diǎn)的坐標(biāo);

3)過MMKx軸于點(diǎn)K,過點(diǎn)NNLx軸于點(diǎn)L,先求出H點(diǎn)的坐標(biāo)與新拋物線的解析式,設(shè)出M、N的坐標(biāo),得出兩坐標(biāo)的聯(lián)系,表示出MN的解析式,再代入定點(diǎn)(2,1)的坐標(biāo)進(jìn)行驗(yàn)證便可得解.

1)∵拋物線過A3,0),B1,0),

∴可設(shè)拋物線的解析式為y=ax3)(x1)(a≠0),

c0,3)代入,得3a=3

a=1,

∴拋物線的解析式是y=x3)(x1=x24x+3

y=x24x+3;

2)當(dāng)P點(diǎn)在AC上方時(shí),過點(diǎn)PPDx軸于點(diǎn)D,過EEFy軸于F,延長(zhǎng)FEPD交于點(diǎn)G,如圖1,

A3,0),C0,3),

OA=OC=3,

∴∠OAC=45°,

FGOA

∴∠CEF=45°,

CF=EF=CE,

PECA,

∴∠PEG=45°,

PG=EG=PE,

CE=3PE,

EF=3FG

設(shè)EF=3m,則PG=EG=mFG=4m,

DG=OF=OCCF=33m,

PD=PG+DG=32m

P4m,32m),

P4m,32m)代入y=x24x+3中得,

32m=16m216m+3,

m=,或m=0(舍去),

P);

當(dāng)P點(diǎn)AC下方時(shí),如圖2,過點(diǎn)PPDx軸于點(diǎn)D,過EEFy軸于F,延長(zhǎng)FEPD交于點(diǎn)G

A3,0),C0,3),

OA=OC=3,

∴∠OAC=45°,

FEOA,

∴∠CEF=45°

CF=EF=CE,

PECA

∴∠PEG=45°,

PG=EG=PE,

CE=3PE,

EF=3FG,

設(shè)EF=3m,則PG=EG=m,EG=2m

DG=OF=OCCF=33m,

PD=PGDG=4m3

P2m,34m),

P2m,34m)代入y=x24x+3中得,

34m=4m28m+3,

m=1,或m=0(舍去),

P2,﹣1);

綜上,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,﹣1)或(,);

3)∵y=x24x+3=x221,

∴拋物線y=x24x+3的頂點(diǎn)為(2,﹣1),

∵將原拋物線向上平移1個(gè)單位拋物線的對(duì)稱軸交x軸于H點(diǎn),

H2,0),

由題意知,點(diǎn)H是新拋物線的頂點(diǎn),

∴新拋物線的解析式為y=x22,

設(shè)Mm,(m22),Nn,(n22),

MMKx軸于點(diǎn)K,過點(diǎn)NNLx軸于點(diǎn)L,如圖3,

MK=m22,KH=2m,HL=n2,NL=n22,

MHNH,

∴∠MHK+HMK=MHK+NHL=90°,

∴∠HMK=NHL,

∵∠MKH=HLN=90°,

∴△KHM∽△LNH

,

,

,

,

設(shè)直線MN的解析式為:y=kx+bk≠0),則,

,

∴直線MN的解析式為:

當(dāng)x=2時(shí),=m-22﹣(m24m+3

=m24m+4m2+4m3=1,

MN恒過的定點(diǎn)(2,1).

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第一次加熱、降溫過程

t(分鐘)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

y

20

40

60

80

100

80

66.7

57.1

50

44.4

40

(飲水機(jī)功能說明:水溫加熱到時(shí)飲水機(jī)停止加熱,水溫開始下降,當(dāng)降到時(shí)飲水機(jī)又自動(dòng)開始加熱)

請(qǐng)根據(jù)上述信息解決下列問題:

1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)在如給出的坐標(biāo)系中,描出相應(yīng)的點(diǎn);

2)選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),分別求出第一次加熱過程和第一次降溫過程關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍;

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A.24B.25C.26D.30

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