如圖(1),在△ABC中中,直線ME垂直平分AB,分別交AB、BC于點E、M,直線NF垂直平分AC,分別交AC、BC于點F、N.

(1)求證:△AMN的周長等于BC的長;
(2)結(jié)合(1)的啟發(fā),解決下列問題:如圖(2),在∠AOB=60°內(nèi)部有一定點P,且OP=4,試在OA、OB上確定兩點M、N,使△PMN周長最短,并求出最短周長.
考點:軸對稱-最短路線問題,線段垂直平分線的性質(zhì)
專題:
分析:(1)由直線PM為線段AB的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AM=BM,同理可得AN=NC,然后表示出三角形AMN的三邊之和,等量代換可得其周長等于BC的長,由BC的長即可得到三角形AMN的周長.
(2)作P關(guān)于OA,OB的對稱點C,D.連接OC,OD.則當(dāng)M,N是CD與OA,OB的交點時,△PMN的周長最短,最短的值是CD的長.根據(jù)對稱的性質(zhì)可以證得:△COD是等腰三角形,據(jù)此即可求解.
解答:(1)證明:∵直線MP為線段AB的垂直平分線(已知),
∴MA=MB(線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等),
又∵直線NQ為線段AC的垂直平分線(已知),
∴NA=NC(線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等),
∴△AMN的周長l=AM+MN+AN=BM+MN+NC=BC(等量代換),

(2)解:作P關(guān)于OA,OB的對稱點C,D.連接OC,OD.則當(dāng)M,N是CD與OA,OB的交點時,△PMN的周長最短,最短的值是CD的長.
∵PC關(guān)于OA對稱,
∴∠COP=2∠AOP,OC=OP
同理,∠DOP=2∠BOP,OP=OD
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB=120°,OC=OD.
∵OP=4,
∴OC=OD=4,
∴CD=4
3
,
∴△PMN周長最短值為4
3
點評:此題考查了線段垂直平分線定理的運用,利用了轉(zhuǎn)化的思想,熟練掌握線段垂直平分線定理是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上,且AD:AC=AE:AB=1:2,若BC=6,則DE的長為( 。
A、1B、2C、3D、4

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在我市中小學(xué)生“我的中國夢”讀書活動中,某校對部分學(xué)生做了一次主題為“我最喜愛的圖書”的調(diào)查活動,將圖書分為甲、乙、丙、丁四類,學(xué)生可根據(jù)自己的愛好任選其中一類.學(xué)校根據(jù)調(diào)查情況進行了統(tǒng)計,并繪制了不完整條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖.
請你結(jié)合圖中信息,解答下列問題(其中(1)、(2)直接填答案即可):
(1)本次共調(diào)查了
 
名學(xué)生;
(2)被調(diào)查的學(xué)生中,最喜愛丁類圖書的有
 
人,最喜愛甲類圖書的人數(shù)占本次被調(diào)查人數(shù)的
 
%;
(3)在最喜愛丙類學(xué)生的圖書的學(xué)生中,女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.5倍,若這所學(xué)校約有學(xué)生1800人,請你估計該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有多少人.

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計算題:
(1)先化簡,再求值:(5a2+2a+1)-4(3-8a+2a2)+(3a2-a),其中a=
1
3

(2)求多項式:-x2+3xy-
1
2
y2
與-
1
2
x2
+4xy-
5
2
y2的差.

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(-1)2014×5+(-2)3÷4.

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如圖,在Rt△AOB中,OA=OB=3
2
,⊙O的半徑為1,點P是AB邊上的動點,過點P作⊙O的一條切線PQ(點Q為切點),求切線PQ的最小值.

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六一兒童節(jié)前夕,兒童樂園準(zhǔn)備將如圖所示的滑梯重新油漆一遍.已知滑梯左側(cè)是1米寬的滑道,右側(cè)是1米寬的臺階,頂部是邊長為1米的正方形平臺(油漆部分為右側(cè)臺階朝上和朝右的表面、頂部平臺和滑梯上表面).現(xiàn)量得滑梯的高AC為2米,∠ABC=30°,∠EDF=45°.
(1)則左側(cè)滑道AB的長為
 
米;
(2)求需要油漆的總面積.

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求下列各式中x的值:
(1)9x2-121=0;              
(2)64(x+1)3=125.

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已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-2,0),B(0,4),點C在第四象限,AC⊥AB,AC=AB.
(1)求點C的坐標(biāo)及∠COA的度數(shù);
(2)若直線BC與x軸的交點為M,點P在經(jīng)過點C與x軸平行的直線上,直接寫出S△POM+S△BOM的值.

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