Question

如圖，線段BC切⊙O于點C，以AC為直徑，連接AB交⊙O于點D，點E是BC的中點，交AB于點D，連結(jié)OB、DE交于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若AC=4，BC=4

3

，求

EF

FD

的值．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)OD、CD，則可得∠ODA=∠A，結(jié)合直徑所對的圓周角為90°，可得∠ODE=90°，從而可證明OD⊥DE，也可得出結(jié)論；
（2）連結(jié)OE．根據(jù)三角形中位線定理得出OE∥AB，OE=

1

2

AB，由相似三角形的判定得到△OEF∽△BDF，則

EF

FD

=

OE

BD

．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB=8，則OE=4，再證明△AOD是邊長為2的等邊三角形，得出AD=2，BD=AB-AD=6，進(jìn)而求解即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OD、CD，如圖．
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ADC=∠BDC=90°．   
∵點E是BC的中點，
∴DE=BE=EC．
∵OA=OD，DE=BE，
∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE．
∵∠DBE+∠A=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°．
∴∠EDO=90°，
∴OD⊥DE，
即DE是⊙O的切線；

（2）解：連結(jié)OE．則OE∥AB，OE=

1

2

AB，
∴△OEF∽△BDF，
∴

EF

FD

=

OE

BD

．
∵BC切⊙O于點C，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，AC=4，BC=4

3

，
根據(jù)勾股定理得，AB=8，
∴OE=4，
∵∠A=60°，
∴△AOD是邊長為2的等邊三角形，
∴AD=2，BD=AB-AD=6，
∴

EF

FD

=

OE

BD

=

4

6

=

2

3

．

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．