Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過點D作EF∥BC，EF與AB、AC的延長線分別交于點E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AF+CF=AB．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)角平分線定義得∠BAD=∠CAD，根據(jù)圓周角定理得

BD

=

CD

，則根據(jù)垂徑定理的推論得OD⊥BC，由于BC∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥EF，于是根據(jù)切線的判定定理可得到EF為⊙O的切線；
（2）首先連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，易證得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，繼而證得AF+CF=AB．

解答：證明：（1）連結(jié)OD，如圖．
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF為⊙O的切線；

（2）連接BD并延長，交AF的延長線于點H，連接CD，如圖．
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ADH和△ADB中，

∠HAD=∠BAD AD=AD ∠ADH=∠ADB

，
∴△ADH≌△ADB（ASA），
∴AH=AB．
∵EF是切線，
∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠CDF=∠HDF．
在△CDF與△HDF中，

∠CDF=∠HDF DF=DF ∠CFD=HFD=90°

，
∴△CDF≌△HDF（ASA），
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，
即AF+CF=AB．

點評：此題考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．