Question

如圖1、2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，作PE⊥AD（或延長(zhǎng)線）于E，作PF⊥DC（或延長(zhǎng)線）于F，作射線BP交EF于G．
（1）在圖1中，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，四邊形ABFE的面積為y，AP=x，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）結(jié)論：GB⊥EF對(duì)圖1，圖2都是成立的，請(qǐng)任選一圖形給出證明；
（3）請(qǐng)根據(jù)圖2證明：△FGC∽△PFB．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意得出S_{四邊形ABFE}=4-

1

2

ED×DF-

1

2

BC×FC進(jìn)而得出答案；
（2）首先利用正方形的性質(zhì)進(jìn)而證明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；
（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），進(jìn)而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．

解答：（1）解：∵PE⊥AD，PF⊥DC，
∴四邊形EPFD是矩形，
∵AP=x，
∴AE=EP=DF=

2

2

x，
DE=PF=FC=2-

2

2

x，
∴S_{四邊形ABFE}=4-

1

2

ED•DF-

1

2

BC•FC
=4-

1

2

×

2

2

x（2-

2

2

x）-

1

2

×2×（2-

2

2

x）
=

1

4

x²+2；

（2）證明：如圖1，延長(zhǎng)FP交AB于H，
∵PF⊥DC，PE⊥AD，
∴PF⊥PE，PH⊥HB，
即∠BHP=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC平分∠DAB，
∴可得PF=FC=HB，EP=PH，
在△FPE與△BHP中

PF=BH ∠FPE=∠BHP PE=HP

，
∴△FPE≌△BHP（SAS），
∴∠PFE=∠PBH，
又∵∠FPG=∠BPH，
∴△FPG∽△BPH，
∴∠FGP=∠BHP=90°，
即GB⊥EF；

（3）證明：如圖2，連接PD，∵GB⊥EF，
∴∠BPF=∠CFG①，
在△DPC和△BPC中

DC=BC ∠DCP=∠BCP=135° PC=PC

，
∴△DPC≌△BPC（SAS），
∴PD=PB，
而PD=EF，∴EF=PB，
又∵GB⊥EF，
∴PF²=FG•EF，
∴PF²=FG•PB，
而PF=FC，
∴PF•FC=FG•PB，
∴

PF

PB

=

FG

FC

②，
∴由①②得△FGC∽△PFB．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用正方形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角以及對(duì)應(yīng)邊的關(guān)系是解題關(guān)鍵．