Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，點，點，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，點，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，.記旋轉(zhuǎn)角為.

(Ⅰ)如圖①，若，求的長；

(Ⅱ)如圖②，若，求點的坐標(biāo)；

(Ⅲ)記為的中點，S為的面積，求S的取值范圍(直接寫出結(jié)果即可).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)點的坐標(biāo)為；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAB′=90°，AB=AB′，利用勾股定理求出BB′的長即可；(Ⅱ) 點作軸，垂足為，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，.即可求出∠O′AC=60°，利用∠O′AC的三角函數(shù)可求出OC和AC的長，進(jìn)而可得OC的長，即可得答案；(Ⅲ)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點O′在以A為圓心，AO為半徑的圓上，且O′B′為圓的切線，可得O′在AB上時S最小，O′在BA的延長線上時S最大，先求出KO′的長，進(jìn)而求出S的值即可得答案.

(Ⅰ)∵點，點，

∴，.

在中，由勾股定理，得.

根據(jù)題意，是繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，.

∴在中，.

(Ⅱ)如圖，根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

可得，.

過點作軸，垂足為，則.

在中，

由，

得，

.

有.

∴點的坐標(biāo)為.

(Ⅲ)如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點O′在以A為圓心，AO為半徑的圓上，且O′B′為圓的切線，

∴O′在AB上時S最小，O′在BA的延長線上時S最大，

當(dāng)O′在AB上時，

∵K為AB中點，

∴AK=，

∴KO′=4-=

∴S=××3=，

當(dāng)O′在BA的延長線上時，KO′=AK+AO′=+4=，

∴S=××3=，

∴S的取值范圍為：≤S≤.