Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），∠CDE=45°，DE與CB交于點(diǎn)E，若DB=x，CE=y．
（1）試說(shuō)明：△ACD∽△BDE；
（2）用含有x的代數(shù)式表示y；
（3）當(dāng)△CDE是等腰三角形時(shí)，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及鄰補(bǔ)角的定義證明∠DEB=∠ADC，然后根據(jù)∠A=∠B即可證得兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解；
（3）分CD=DE、CD=CE、CE=DE三種情況進(jìn)行討論即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠B=45°，AB=2

2

．
∵△BDE中，∠DEB=180°-∠EDB-∠B=180°-∠EDB-45°=135°-∠EDB，
又∵∠ADC=180°-∠CDE-∠EDB=135°-∠EDB，
∴∠DEB=∠ADC，
又∵∠A=∠B，
∴△ACD∽△BDE；
（2）若DB=x，CE=y，AD=2

2

-x，BE=BC-CE=2-y．
∵△ACD∽△BDE，
∴

AC

BD

=

AD

BE

，即

2

x

=

2 2 -x

2-y

，
∴y=

1

2

x²-

2

x+2；
（3）當(dāng)CD=DE時(shí)，
∵△ACD∽△BDE，
∴△ACD≌△BDE，
∴AC=BD=2，
則AD=AB-BD=2

2

-2；
當(dāng)CD=CE時(shí)，∠CDE=∠CED＞∠B=45°，則此時(shí)一定不成立；
當(dāng)CE=DE時(shí)，∠CDA=∠DCE=45°，則CD是∠ACB的平分線，則AD=

1

2

AB=

2

．
故答案是：2

2

-2或

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角新的判定與性質(zhì)，正確證明∠DEB=∠ADC是關(guān)鍵．