Question

2．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，且邊長為a．延長BC至點E，使BC=CE，連接DE．
（1）求證：△DEC為正三角形；
（2）連接AE、BD，兩線交于點F，連接CF，求證：AF=CF=DF；
（3）求△ADF的面積．（用含a的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DCE=60°，CD=BC=CE，再根據(jù)正三角形的判定即可證明；
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得AF=DF，根據(jù)題意可得△ABE是直角三角形，可證△ECF≌△EDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CF=DF，從而求解；
（3）延長CF交AD于G，根據(jù)三角函數(shù)可得FG的長，再根據(jù)三角形面積公式即可求解．

解答 （1）證明：∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=CE，
∴∠DCE=60°，CD=BC=CE，
∴△DEC為正三角形；
（2）證明：∵△DEC為正三角形；
∴DE=DC，
∴AB=DE，
∴四邊形ABED是等腰梯形，
∴AF=DF，
∵2AB=BE，∠ABC=60°，
∴△ABE是直角三角形，
∴∠AEB=30°，
∴∠AED=30°，
∴∠AEB=∠AED，
在△ECF與△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}\\{∠AEB=∠AED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$
∴△ECF≌△EDF，
∴CF=DF，
∴AF=CF=DF；
（3）解：延長CF交AD于G，
則AG=$\frac{1}{2}$a，∠GAF=∠AEB=30°，
在Rt△AGF中，F(xiàn)G=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×AG=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
則△ADF的面積=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²．

點評 考查了四邊形綜合題，涉及的知識點有：菱形的性質(zhì)，正三角形的判定和性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的知識，三角形面積計算，綜合性較強，有一定的難度．