Question

1．四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=14，BC=8，若以CD為底邊作等腰直角△CDE，則AE=2$\sqrt{58}$或8．

Answer 1

分析 分兩種情況矩形討論：點E在CD右側(cè)，點E在CD左側(cè)．過點E作GF⊥BC于F，交AD的延長線于G，過點D作DH⊥BC于H，得出四邊形ABFG、四邊形ABHD都是矩形，再判定△CEF≌△EDG，得出DG=FE，GE=FC，最后設(shè)EF=DG=x，根據(jù)（CF²+EF²）+（EG²+DG²）=CH²+DH²，列出方程進行求解即可．

解答 解：①如圖，當點E在CD右側(cè)時，過點E作GF⊥BC于F，交AD的延長線于G，過點D作DH⊥BC于H
∵AD∥BC，∠B=90°
∴四邊形ABFG、四邊形ABHD都是矩形
∴GF=AB=DH=14，∠G=∠F=∠DHC=90°，HB=AD=6，HC=8-6=2
∵△CDE是等腰直角三角形
∴DE=EC，∠CEF+∠DEG=∠EDG+∠DEG=90°
∴∠CEF=∠EDG
∴△CEF≌△EDG（AAS）
∴DG=FE，GE=FC
設(shè)EF=DG=x，則GE=FC=14-x
∵Rt△CDE中，CE²+DE²=CD²
∴（CF²+EF²）+（EG²+DG²）=CH²+DH²
即（14-x）²+x²+（14-x）²+x²=2²+14²
解得x=8
∴DG=8，EG=6
∴Rt△AEG中，AE=$\sqrt{A{G}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{1{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{232}$=2$\sqrt{58}$

②如圖，當點E在CD左側(cè)時，過點E作GF⊥BC于F，交AD于G，過點D作DH⊥BC于H
∵AD∥BC，∠B=90°
∴四邊形ABFG、四邊形ABHD都是矩形
∴GF=AB=DH=14，∠DGE=∠CFE=∠DHC=90°，HB=AD=6，HC=8-6=2
∵△CDE是等腰直角三角形
∴DE=EC，∠CEF+∠DEG=∠EDG+∠DEG=90°
∴∠CEF=∠EDG
∴△CEF≌△EDG（AAS）
∴DG=FE，GE=FC
設(shè)EF=DG=x，則GE=FC=14-x
∵Rt△CDE中，CE²+DE²=CD²
∴（CF²+EF²）+（EG²+DG²）=CH²+DH²
即（14-x）²+x²+（14-x）²+x²=2²+14²
解得x=6
∴DG=6，EG=8
∵AD=6
∴GF與AB重合
∴AE=GE=8
故答案為：2$\sqrt{58}$或8

點評 本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造矩形以及全等三角形，根據(jù)勾股定理列出方程進行求解．