Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角，得到矩形A'B'CD'，B'C與AD交于點E，AD的延長線與A′D′交于點F．

（1）如圖1，當(dāng)a＝60°時，連接DD'，求DD'和A'F的長；

（2）如圖2，當(dāng)矩形A′B′CD′的頂點A'落在CD的延長線上時，求EF的長；

（3）如圖3，當(dāng)AE＝EF時，連接AC，CF，求證：∠ACF＝90°．

Answer 1

【答案】（1）DD'=3；A'F= 4-；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠DCD'=60°，∠ADC=∠A'D'C=90°，由“HL”可證Rt△CDF≌Rt△CD'F，可得∠DCF=∠D'CF=30°，由銳角三角函數(shù)可求DF的長，即可求A'F的長；

（2）由勾股定理可求A'C=5，可得A'D=2，通過證明△ECD∽△A'CB'，可得，可求DE的長，由平行線分線段成比例可得，可求DF的長，即可求EF的長；

（3）如圖3，過點F作FG⊥B'C于G，由面積法可證EF=EC=AE，由直角三角形的判定可得∠ACF=90°．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=3，AD=BC=4，

∵將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°角，

∴CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠DCD'=60°，∠ADC=∠A'D'C=90°，

∴△DCD'是等邊三角形，

∴DD'=CD=3，∠CDD'=∠CD'D=60°，

∴∠FDD'=∠FD'D=30°，

如圖1，連接CF，

∵CD=CD'，CF=CF，

∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL）

∴∠DCF=∠D'CF=30°

∵tan∠DCF=，

∴DF=3×，

∴D'F=，

∴A'F=A'D'-D'F=4-，

（2）在Rt△A'B'C中，，

∵CD=3，

∴A'D=A'C-CD=2，

∵∠DCE=∠A'CB'，∠CDE=∠B'=90°，

∴△ECD∽△A'CB'，

∴

∴

∴DE=

∵A'D'∥B'C

∴

∴

∴DF=

∴EF=DE+DF=

（3）如圖3，過點F作FG⊥B'C于G，

∴FG=CD'=3=CD，

∵S△CEF=×EF×CD=×EC×GF，

∴EF=EC

∵AE=EF，

∴AE=EF=EC，

∴△ACF是直角三角形，

∴∠ACF=90°