Question

如圖，點D是等腰直角三角形ABC的直角邊BC上一點，AD的垂直平分線分別交AC、AD、AB于點E、O、F．且BC=1．
（1）若AD是邊BC上的中線，求AE的值；
（2）若四邊形AEDF是菱形，求CD的值．

Answer 1

考點：菱形的性質,線段垂直平分線的性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等AE=DE，設AE=DE=x，再表示出CE，根據(jù)線段中點的定義表示出CD，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）根據(jù)菱形的對邊平行可得DE∥AB，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠CDE=∠B=45°，從而判斷出△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得CD=CE，設CD=x，表示出AE，再根據(jù)菱形的四條邊都相等可得DE=AE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，
設AE=DE=x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，
∴CE=AC-AE=1-x，
∵AD是邊BC上的中線，
∴CD=

1

2

BC=

1

2

，
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，
即（1-x）²+（

1

2

）²=x²，
解得x=

5

8

，
即AE=

5

8

；

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC=1，∠B=45°，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠B=45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，
設CD=x，則AE=1-x，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴DE=AE=1-x，
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，
即x²+x²=（1-x）²，
整理得，x²+2x-1=0，
解得x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍去），
∴CD的值是

2

-1．

點評：本題考查了菱形的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，等腰直角三角形的性質，熟記性質并表示出△CDE的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．