【題目】如圖,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點D、E分別是邊AB、AC上的動點(點D、E不與△ABC的頂點重合),AD和BE交于點F,且∠AFE=∠ABC
(1)求證:△ABD∽△BCE;
(2)設(shè)AE=x,ADFD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出x的取值范圍;
(3)當(dāng)△AEF是等腰三角形時,求DF的長度.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)或.
【解析】
(1)根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似證明即可.
(2)由△BDF∽△ADB,可得=,推出BD2=DFAD,由△ABD∽△BCE,可得=,結(jié)論=,推出BD=(5x),由此即可解決問題.
(3)分兩種情形:①如圖1中,當(dāng)AE=EF時,②如圖2中,當(dāng)FA=FE時,作AH⊥BC于H,利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可解決問題.
(1)證明:∵∠AFE=∠ABC,∠AFE=∠ABF+∠BAF,∠ABC=∠ABF+∠CBE,
∴∠BAD=∠CBE,
∵AB=AC,
∴∠ABD=∠C,
∴△ABD∽△BCE.
(2)解:∵∠BDF=∠ADB,∠DBF=∠BAD,
∴△BDF∽△ADB,
∴=,
∴BD2=DFAD,
∵△ABD∽△BCE,
∴=,
∴=,
∴BD=(5﹣x),
∴y=ADDF=BD2=(5﹣x)2
∴./p>
(3)解:①如圖1中,當(dāng)AE=EF時,
∵AE=EF,
∴∠AFE=∠EAF,
∵∠AFE=∠ABC=∠C,
∴△DCA∽△ABC∽EAF,
∴=,
∴=,
∴AD=DC=,同法可得AF=x,
∴BD=6﹣=,
∵BD2=DFDA,
∴=DF,
∴DF=.
②如圖2中,當(dāng)FA=FE時,作AH⊥BC于H.
∵FA=FE,
∴∠FAE=∠FEA,
∵△ABD∽∠BCE,
∴∠ADB=∠BEC,
∴∠ADC=∠FEA,
∴∠CDA=∠CAD,
∴CD=CA=5,
∵AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH=3,
∴AH==4,
∴DH=5﹣3=2,AD===2,
∵BD=1,BD2=DFAD,
∴1=DF2,
∴DF=.
綜上所述,DF的長是或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一場足球比賽中,一球員從球門正前方10米處起腳射門,當(dāng)球飛行的水平距離為6米時達到最高點,此時球高為3米.
(1)如圖建立直角坐標(biāo)系,當(dāng)球飛行的路線為一拋物線時,求此拋物線的解析式.
(2)已知球門高為2.44米,問此球能否射中球門(不計其它情況).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△DEF中,EF=10,DF=6,DE=8,以EF的中點O為圓心,作半圓與DE相切,點A、B分別是半圓和邊DF上的動點,連接AB,則AB的最大值與最小值的和是( 。
A.6B.2+1C.D.9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,M、N分別是射線CB和射線DC上的動點,且始終∠MAN=45°.
(1)如圖1,當(dāng)點M、N分別在線段BC、DC上時,請直接寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)點M、N分別在CB、DC的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,給予證明,若不成立,寫出正確的結(jié)論,并證明;
(3)如圖3,當(dāng)點M、N分別在CB、DC的延長線上時,若CN=CD=6,設(shè)BD與AM的延長線交于點P,交AN于Q,直接寫出AQ、AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)在一次用頻率估計概率的試驗中,統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,給出的 統(tǒng)計圖如圖所示,則符合這一結(jié)果的試驗可能是 ( )
A.擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面朝上的概率
B.擲一枚硬幣,出現(xiàn)反面朝上的概率
C.擲一枚骰子,出現(xiàn) 點的概率
D.從只有顏色不同的兩個紅球和一個黃球中,隨機取出一個球是黃球的概率
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點A1、A3、A5…在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,點A2、A4、A6……在反比例函數(shù)(x>0)的圖象上,∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°,且OA1=2,則An(n為正整數(shù))的縱坐標(biāo)為____________.(用含n的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】暑假快要到了,某市準(zhǔn)備組織同學(xué)們分別到A,B,C,D四個地方進行夏令營活動,前往四個地方的人數(shù)如圖所示.
(1)去B地參加夏令營活動人數(shù)占總?cè)藬?shù)的40%,根據(jù)統(tǒng)計圖求去B地的人數(shù)?
(2)若一對姐弟中只能有一人參加夏令營,姐弟倆提議讓父親決定.父親說:現(xiàn)有4張卡片上分別寫有1,2,3,4四個整數(shù),先讓姐姐隨機地抽取一張后放回,再由弟弟隨機地抽取一張.若抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和是5的倍數(shù)則姐姐參加,若抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)則弟弟參加.用列表法或樹形圖分析這種方法對姐弟倆是否公平?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個不透明的布袋,甲袋中有2個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字0和-2;乙袋中有3個完全相同的小球,分別標(biāo)有數(shù)字-2,0和1,小明從甲袋中隨機取出1個小球,記錄標(biāo)有的數(shù)字為x,再從乙袋中隨機取出1個小球,記錄標(biāo)有的數(shù)字為y,這樣確定了點Q的坐標(biāo)(x,y).
(1)寫出點Q所有可能的坐標(biāo);
(2)求點Q在x軸上的概率.
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