Question

如圖，⊙O的直徑AB=10，CD是⊙O的弦，AC與BD相交于點P．
（1）判斷△APB與△DPC是否相似？并說明理由；
（2）如果sin∠BPC是方程2x²+5x-3=0的根，求∠BPC的度數(shù)；
（3）在（2）的條件下，求弦CD的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),解一元二次方程-因式分解法,圓周角定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：

分析：（1）運用圓周角定理證明∠A=∠D，∠B=∠C，即可解決問題．
（2）解方程得到sin∠BPC=

1

2

，即可解決問題．
（3）證明

PC

PB

=

3

2

；由△ABP∽△DCP，得到AB：CD=BP：PC=

3

：2，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，
∵∠A=∠D，∠B=∠C，
∴△ABP∽△DCP．
（2）解方程2x²+5x-3=0得：x=

1

2

或-3，
∵sin∠BPC是方程2x²+5x-3=0的根，
∴sin∠BPC=

1

2

，
∴∠BPC=30°．
（3）如圖，連接BC；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，而∠BPC=30°，
∴cos30°=

PC

PB

=

3

2

；
∵△ABP∽△DCP，
∴AB：CD=BP：PC=

3

：2，而AB=10，
∴CD=5

3

．

點評：該題主要考查了圓周角定理及其推論、相似三角形的判定及其性質(zhì)等重要數(shù)學知識點及其應用問題；牢固掌握定理是基礎(chǔ)，科學解答是關(guān)鍵；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．