【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),將直線沿y軸向上平移3個(gè)單位長度后恰好經(jīng)過B、C兩點(diǎn).
(1)求直線BC及拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)連結(jié)CD,求∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù).
【答案】(1)y=-x+3;y=-4x+3;(2)(2,2)或(2,-2);(3)45°
【解析】
(1)根據(jù)平移得出點(diǎn)C的坐標(biāo),然后設(shè)出函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)二次函數(shù)得出點(diǎn)D和點(diǎn)A的坐標(biāo),然后得出OB、OC、OA和AB的長度,得出△OBC為等腰直角三角形,則∠OBC=45°,CB的長度為3,然后得出△AEC和△AFP相似得出PF的長度,從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)作點(diǎn)A(1,0)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出角度.
解:(1)∵y=kx沿y軸向上平移3個(gè)單位長度后經(jīng)過y軸上的點(diǎn)C,∴C(0,3).
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3.
∵B(3,0)在直線BC上,∴3k+3=0.
解得k=-1,直線BC的解析式為y=-x+3.
∵拋物線過點(diǎn),
解得
∴拋物線的解析式為.
(2)由. 可得D(2,-1),A(1,0).
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2.
可得△OBC是等腰直角三角形.∴∠OBC=45°,CB=3.
如圖,設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,∴AF=AB=1.
過點(diǎn)A作AE于點(diǎn)E.∴∠AEB=90°.可得BE=AE=,CE=2.
在△AEC與△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°,∠ACE=∠APF,
.,.解得PF=2.
∵點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)或(2,-2).
(3)作點(diǎn)A(1,0)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′,則A′(-1,0)
連結(jié)A′C,A′D,可得A′C=AC=,∠OC A′=∠OCA
由勾股定理可得CD2=20, A′D2=10,
又 A′C2=10 ∴ A′D2+ A′C2=CD2
∴△ A′DC是等腰直角三角形,∠C A′D=90,
∴∠DC A′=45,∴∠OC A′+∠OCD=45,
∴∠OCA+∠OCD=45,
即∠OCA與∠OCD兩角和的度數(shù)為45.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,A是⊙O上一動點(diǎn),P是⊙O外一點(diǎn),在圖中作出PA最小時(shí)的點(diǎn)A.
(2)如圖2,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,以點(diǎn)C為圓心的⊙C的半徑是3.6,Q是⊙C上一動點(diǎn),在線段AB上確定點(diǎn)P的位置,使PQ的長最小,并求出其最小值.
(3)如圖3,矩形ABCD中,AB=6,BC=9,以D為圓心,3為半徑作⊙D,E為⊙D上一動點(diǎn),連接AE,以AE為直角邊作Rt△AEF,∠EAF=90°,tan∠AEF=,試探究四邊形ADCF的面積是否有最大或最小值,如果有,請求出最大或最小值,否則,請說明理由.
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【題目】“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.”請根據(jù)你對這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m<n)是關(guān)于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根,且a<b,則a、b、m、n的大小關(guān)系是( ).
A. B.
C. D.
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【題目】為了解某學(xué)校九年級學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間的情況,隨機(jī)抽查了該學(xué)校九年級部分同學(xué),對其每周平均課外閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②.請根據(jù)相關(guān)信息,解答下列問題:
(1)該校抽查九年級學(xué)生的人數(shù)為 ,圖①中的a值為 ;
(2)求統(tǒng)計(jì)的這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組想測量建筑物AB的高度.他們在C處仰望建筑物頂端,測得仰角為48°,再往建筑物的方向前進(jìn)6米到達(dá)D處,測得仰角為64°,求建筑物的高度.(測角器的高度忽略不計(jì),結(jié)果精確到0.1米)
(參考數(shù)據(jù):sin48°≈,tan48°≈,sin64°≈,tan64°≈2)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在圖1中,△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上,由此我們稱這種三角形為格點(diǎn)三角形.
(1)在圖1中,每個(gè)小正方形的邊長為1時(shí),AC= ;
(2)在圖2中,若每個(gè)小正方形的邊長為a,請?jiān)诖司W(wǎng)格上畫出三邊長分別為a、2a、a的格點(diǎn)三角形;
(3)圖3是由12個(gè)長為m,寬為n小矩形構(gòu)成的網(wǎng)格,請?jiān)诖司W(wǎng)格中畫出邊長分別為、、2的格點(diǎn)三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為.
(1)求點(diǎn),的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)(4,2),將拋物線向上平移得拋物線,點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)為,且,求拋物線的解析式;
(3)將拋物線:沿軸翻折,得拋物線,拋物線與軸交于點(diǎn),(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn),平行于軸的直線與拋物線交于點(diǎn)(,),(,),與直線交于點(diǎn)(,),若<<,結(jié)合函數(shù)的圖象,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:
①關(guān)于的一元二次方程的根是,3;
②函數(shù)的解析式是;
③;
其中正確的是_______(填寫正確結(jié)論的序號)
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,E是邊AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),連結(jié)BE,PQ垂直平分BE,分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q,連結(jié)BP、EQ.求證:四邊形BPEQ是菱形.
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