Question

如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AC上．
（1）求證：BE=DE；
（2）你能將上面的命題用文字概括成一個(gè)命題嗎？
（3）你能用這個(gè)命題證下面這道題嗎？如圖②，點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EF=DP．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角可得∠BAC=∠DAC=45°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)BE、DE的位置寫(xiě)出命題即可；
（3）連接PB，求出四邊形BFPE是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等可EF=PB，再根據(jù)（2）的結(jié)論證明即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，
在△ABE和△ADE中，

AB=AD ∠BAC=∠DAC AP=AP

，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE；

（2）解：命題：正方形一條對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)到另一對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)的距離相等；

（3）證明：如圖，連接PB，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC=90°，
∴四邊形BFPE是矩形，
∴EF=PB，
由（2）PB=DP，
∴EF=DP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)得到三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．