Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-3=0的兩實根，
（1）求k的取值范圍；
（2）若（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系

專題：

分析：（1）根據關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-3=0有兩實根可得△=b²-4ac≥0，代入數值解不等式即可；
（2）由題意設方程x²-2（k+1）x+k²-3=0兩根為x₁，x₂，得x₁+x₂=2（k+1），x₁•x₂=k²-3，再根據（x₁+1）（x₂+1）=8，得出k²+2k-8=0，求出k的值即可．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²-3=0有兩實根，
∴△=[-（2k+1）]²-4×1×（k²-3）≥0，
解得：k≥-

13

4

；

（2）由已知定理得：x₁x₂=k²-3，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²-3+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-8=0，
解得：k₁=2，k₂=-4．
∵k≥-

13

4

，
∴k=-4舍去．
∴k的值為2．

點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數的關系，關鍵是根據已知條件和有關公式列出方程和不等式．