Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°AE⊥CD于E，DE=3，AE=4，對角線BD平分∠ADC．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）一動(dòng)點(diǎn)P從D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿折線DA---AB勻速運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿EC勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)Q與C重合時(shí)，P、Q停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間x秒（x＞0）．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)是否存在這樣時(shí)刻，直線PQ將梯形ABCD的面積平分？若存在，求出x值．
（3）如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段DA運(yùn)動(dòng)到A后，可沿線段AB運(yùn)動(dòng)，過P作PF∥AD交直線BC于G點(diǎn)，交直線DC于F點(diǎn)，在線段AB上是否存在H點(diǎn)，使得△FGH為等腰直角三角形？若存在，求出對應(yīng)的BH的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)角平分線及平行線的性質(zhì)，可得出∠ADB=∠ABD，繼而得出AD=AB，在Rt△ADE中求出AD，代入梯形ABCD的面積公式計(jì)算即可．
（2）分段討論，①0＜x≤2.5時(shí)，點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)，表示出△DPQ的面積；②2.5＜x＜5時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，表示出四邊形PBCQ的面積，由PQ將梯形ABCD的面積平分，建立方程，解出即可作出判斷；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HM⊥CD于點(diǎn)M，從而可證明△HBG≌△HMF，繼而得出BH=HM=4．

解答：解：（1）如圖1所示：

∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
在Rt△ADE中，AD=

AE2+DE2

=5，
∴AB=AD=5，
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）×AE=

1

2

×13×4=26．
故梯形ABCD的面積是26．

（2）當(dāng)0＜x≤2.5時(shí)，點(diǎn)P在DA上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PF⊥DC，如圖2所示：
，
PD=2x，DQ=3+x，
∵AE⊥DC，
∴PF∥AE，
∴

DP

AD

=

PF

AE

，
∴PF=

8

5

x，
∴S_△DPQ=

1

2

DQ×PF=

12x+4x2

5

=

1

2

S_梯形ABCD，即4x²-12x+65=0，
解得：x=

-3± 74

2

，
∵0＜x≤2.5，
∴此時(shí)不存在這樣的x值；
②當(dāng)2.5＜x＜5時(shí)，如圖3所示：

PB=10-2x，CQ=5-x，
∴S_梯形PBCQ=

1

2

（CQ+BP）×CB=30-6x=

1

2

S_梯形ABCD，即30-6x=13，
解得：x=

17

6

，
∵2.5＜x＜5，
∴當(dāng)x=

17

6

時(shí)直線PQ將梯形ABCD的面積平分．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HM⊥CD于點(diǎn)M，如圖4所示：

∵△FGH是等腰直角三角形，
∴∠GHF=90°，HG=HF，
∵∠MHF+∠FHB=∠BHG+∠FHB=90°，
∴∠MHF=∠BHG，
在Rt△HMF和Rt△HBG中，

∠HMF=∠HBG ∠MHF=∠BHG HF=HG

，
∴Rt△HMF≌Rt△HBG（AAS），
∴BH=BM=4．
即當(dāng)BH=4時(shí)，△FGH是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合，涉及了動(dòng)點(diǎn)問題，梯形的面積及全等三角形的判定與性質(zhì)，綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多，解答此類綜合題，要求同學(xué)們具有扎實(shí)的基本功，熟練數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想的熟練運(yùn)用．