Question

如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E、M在AD上，且CD=CM，點(diǎn)F為AB上的點(diǎn)，且∠ECF=

1

2

∠B．
（1）若菱形ABCD的周長(zhǎng)為8，且∠D=67.5°，求△MCD的面積；
（2）求證：BF=EF-EM．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)D作DH⊥MC于點(diǎn)H，由菱形ABCD的周長(zhǎng)為8，且∠D=67.5°，易求得∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，然后由勾股定理求得DH的長(zhǎng)，繼而求得△MCD的面積；
（2）首先延長(zhǎng)AB到N，使BN=EM，連接CN，易證得△BNC≌△MEC（SAS），繼而證得△NCF≌△ECF（SAS），則可證得BF=EF-EM．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥MC于點(diǎn)H，
∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為8，
∴CD=2，
∵CD=CM，且∠D=67.5°，
∴∠2=∠D=67.5°，∠DCH=45°，CM=2，
在Rt△CDH中，DH=DC×sin45°=

2

，
∴S_△MCD=

1

2

CM•DH=

1

2

×2×

2

=

2

；

（2）延長(zhǎng)AB到N，使BN=EM，連接CN，
∵CD=CM，CD=CB，且∠ABC=∠D，
∴BC=CM，∠2=∠ABC，
∵∠1+∠ABC=∠2+∠5
∴∠1=∠5
在△BNC和△MEC中，

BN=ME ∠1=∠5 BC=CM

，
∴△BNC≌△MEC（SAS），
∴∠4=∠3，CE=NC，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠BCM=∠ABC，
∵∠ECF=

1

2

∠ABC，
∴∠3+∠BCF=∠4+∠BCF=∠ECF，
在△NCF和△ECF中，

NC=EC ∠NCF=∠ECF CF=CF

，
∴△NCF≌△ECF（SAS），
∴FN=EF，
EF=FB+NB=FB+EM，
∴FB=EF-EM．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．