【題目】某班“手拉手”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)互助小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究時(shí),遇到以下問(wèn)題,請(qǐng)你逐一加以解答:

1)如圖1,正方形ABCD中,EFGHEF分別交AB,CD于點(diǎn)E,FGH分別交AD,BC于點(diǎn)GH,則EF   GH;(填“>”“=”或“<”)

2)如圖2,矩形ABCD中,EFGH,EF分別交ABCD于點(diǎn)E,FGH分別交AD,BC于點(diǎn)G,H,求證: =

3)如圖3,四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=3,CD=5,AD=75AMDN,點(diǎn)M,N分別在邊BC,AB上,求的值.

【答案】1=;(2)見(jiàn)解析;(3

【解析】

1)首先過(guò)點(diǎn)AAPGH,交BCP,過(guò)點(diǎn)BBQEF,交CDQ,交BQT,然后根據(jù)正方形的性質(zhì)以及△ABP≌△BCQ的判定與性質(zhì),即可得出EF=GH

2)首先過(guò)點(diǎn)AAPEF,交CDP,過(guò)點(diǎn)BBQGH,交ADQ,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)以及△PDA∽△QAB的判定與性質(zhì),即可得出;

3)首先過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線,交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長(zhǎng)線于S,判定平行四邊形ABSR是矩形,由(1)結(jié)論得出,然后判定△ARD∽△DSC,運(yùn)用其性質(zhì)和勾股定理構(gòu)建方程,求解即可.

1)如圖1中,過(guò)點(diǎn)AAPGH,交BCP,過(guò)點(diǎn)BBQEF,交CDQ,交BQT

∵四邊形ABCD是正方形,

ABDC,ADBC,AB=BC,∠ABP=C=90°

∴四邊形BEFQ、四邊形PHGA都是平行四邊形,

AP=GH,EF=BQ

又∵GHEF

APBQ,

∴∠PBT+∠ABT=90°,∠ABT+∠BAT=90°,

∴∠CBQ=BAT,

在△ABP和△BCQ中,

,

∴△ABP≌△BCQ

AP=BQ,

EF=GH,

故答案為:=;

2)過(guò)點(diǎn)AAPEF,交CDP,過(guò)點(diǎn)BBQGH,交ADQ,如圖2,

∵四邊形ABCD是矩形,

ABDC,ADBC

∴四邊形AEFP、四邊形BHGQ都是平行四邊形,

AP=EF,GH=BQ

又∵GHEF,

APBQ,

∴∠QAT+∠AQT=90°,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠DAB=D=90°,

∴∠DAP+∠DPA=90°,

∴∠AQT=DPA,

∴△PDA∽△QAB

,

3)過(guò)點(diǎn)D作平行于AB的直線,交過(guò)點(diǎn)A平行于BC的直線于R,交BC的延長(zhǎng)線于S,如圖3

則四邊形ABSR是平行四邊形.

∵∠ABC=90°,

∴平行四邊形ABSR是矩形,

∴∠R=S=90°,RS=AB=10,AR=BS

AMDN,

∴由(1)中的結(jié)論可得,

設(shè)SC=x,則AR=BS=3+x,

∵∠ADC=R=S=90°,

∴∠ADR+∠RAD=90°,∠ADR+∠SDC=90°,

∴∠RAD=CDS,

∴△ARD∽△DSC,

==

DR=x,DS=x+3),

RtARD中,∵AD2=AR2+DR2,

7.52=x+32+(x2,

整理得13x2+24x189=0,解得x=3或﹣,

AR=6,AB=RS=

=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布折線統(tǒng)計(jì)圖;

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1)通過(guò)取點(diǎn)、畫(huà)圖、測(cè)量,得到了的幾組值,如下表:

/cm

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

/cm

4

3.5

3.2

2.8

2.1

1.4

0.7

0

補(bǔ)全上面表格,要求結(jié)果保留一位小數(shù).則__________;

2)在下面的網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,描出以補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫(huà)出該函數(shù)的圖象;

3)結(jié)合畫(huà)出的函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:當(dāng)DB=AE時(shí),AE的長(zhǎng)度約為    cm

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2)求ORtABC重疊部分的面積.(結(jié)果保留準(zhǔn)確值)

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A. B. 2 C. D. 2

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