Question

等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點(diǎn)（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點(diǎn)M、N（如圖1）．
（1）求證：AM=AN；
（2）設(shè)BP=x．①若BM=

3

8

，求x的值；
②記四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
③如圖2，當(dāng)x取何值時(shí)，∠BAD=15°？

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由已知條件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，從而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出結(jié)論．
（2）①由已知條件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出

BM

CP

=

BP

CA

，由已知條件可以建立方程求出BP的值．
②四邊形AMPN的面積就是四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，由△ADM≌△APN，S_△ADM=S_△APN，可以得出重合部分的面積就是△ADP的面積．
③連接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，設(shè)BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=

3

t，從而求得t的值，即可以求出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，

∠DAM=PAN AD=AP ∠ADM=∠APN

，
∴△ADM≌△APN（ASA），
∴AM=AN．

（2）解：①∵△ABC、△ADP是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180°-∠ADM-∠DMA=180°-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴

BM

CP

=

BP

CA

，
∵BM=

3

8

，AC=2，CP=2-x，
∴4x²-8x+3=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

．
②∵四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，△ADM≌△APN，
∴S_△ADM=S_△APN，
∴S_{四邊形AMPN}=S_△APM+S_△APN=S_△AMP+S_△ADM=S_△ADP．
過點(diǎn)P作PS⊥AB，垂足為S，
在Rt△BPS中，
∵∠B=60°，BP=x，
∴PS=BPsin60°=

3

2

x，BS=BPcos60°=

1

2

x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-

1

2

x，
∴AP²=AS²+PS²=（

3

2

x）²-（2-

1

2

x）²=x²-2x+4（0＜x＜2）；

③連接PG，設(shè)DE交AP于點(diǎn)O．若∠BAD=15°，
∵∠DAP=60°．∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE都是等邊三角形．
∴AD=DP=AP=PE=EA．
∴四邊形ADPE是菱形．
∴DO垂直平分AP．
∴AG=GP．
∴∠APG=∠PAG=45°．
∴∠PAG=90°．
設(shè)BG=t，在Rt△BPG中，∠B=60°．
∴BP=2t，PG=

3

t．
∴AG=PG=

3

t．
∴

3

t+t=2．解得t=

3

-1．
∴BP=2t=2

3

-2．
故，當(dāng)x=2

3

-2時(shí)，∠BAD=15°．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用．本題的綜合性較強(qiáng)在解答時(shí)要注意解答問題的突破口，這也是解答問題的關(guān)鍵．