Question

如圖，在△ABC中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，EF∥BC且交AC于點(diǎn)F，求證：EF是△ABC的中位線．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理

專題：證明題

分析：過點(diǎn)B作BG∥CF交FE的延長(zhǎng)線于G，判斷出四邊形BCFG是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得BG=CF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠A=∠EBG，再利用“邊角邊”證明△AEF和△BEG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=AF，從而得到AF=CF，再根據(jù)三角形的中位線的定義證明．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)B作BG∥CF交FE的延長(zhǎng)線于G，
∵EF∥BC，
∴四邊形BCFG是平行四邊形，
∴BG=CF，
∴BG∥CF，
∴∠A=∠EBG，
∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEG中，

∠A=∠EBG AE=BE ∠AEF=∠BEG

，
∴△AEF≌△BEG（ASA），
∴BG=AF，
∴AF=CF，
又∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線的證明，關(guān)鍵在于證明AF=CF，作輔助線構(gòu)造成平行四邊形和全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．