Question

問題情境：
小明和小穎在吃冰淇淋時(shí)，對(duì)其所用的一次性紙杯（如圖1）產(chǎn)生了興趣，決定對(duì)制做這種紙杯的相關(guān)問題進(jìn)行研究，他們發(fā)現(xiàn)紙杯是圓臺(tái)形狀（即一個(gè)大圓錐截去一個(gè)小圓錐后余一的部分，如圖2），并測(cè)得杯口直徑AB=8cm，杯底直徑CD=6cm，杯壁母線長AC=BD=6cm，說明：整個(gè)探究過程中均忽略紙杯的接接部分和紙杯的厚度．

數(shù)學(xué)理解：
（1）為進(jìn)一步探究問題的本質(zhì)，小穎畫出紙杯的側(cè)面展開的大致圖形，如圖3，得到的圖形是圓環(huán)的一部分，那么，圖3中

BE

的長為

 

cm，

DF

的長為

 

cm．
（2）小明認(rèn)為，要想準(zhǔn)確畫出紙杯的側(cè)面展開圖，需要確定圖3中

BE

和

DF

所在圓的半徑OE，OF的長以及圓心角∠BOE的度數(shù)，小穎根據(jù)弧長的計(jì)算公式猜想得到

BE 的長

DF 的長

=

OE

OF

，請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論，并根據(jù)這個(gè)結(jié)論，求

DF

所在圓的半徑OF及它所對(duì)的圓心角∠BOE的度數(shù)．
問題解決：
（3）明確了紙杯側(cè)面展開圖的有關(guān)數(shù)據(jù)和圖形的性質(zhì)后，他們繼續(xù)探究將原材料截前成紙杯側(cè)面的方案，并給出了方案，將原材料剪成矩形紙片，再按如圖4所示的方式剪出這個(gè)紙杯的側(cè)面，其中，扇形OBE的

BE

與矩形GHMN的邊GH相切于點(diǎn)P，點(diǎn)P是

BE

的中點(diǎn)，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，D均在矩形的邊上，請(qǐng)直接寫出矩形紙片的長和寬．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）立體平面圖形轉(zhuǎn)化中，可見

BE

的長即為杯口圓的周長，而

DF

的長即為杯底圓的周長．由已知杯口直徑AB=8cm，杯底直徑CD=6cm，結(jié)論易得．
（2）求證

BE 的長

DF 的長

=

OE

OF

，一般我們都考慮分別用OE，OF表示出

BE

的長和

DF

的長，然后相除后再找其與

OE

OF

的關(guān)系．
    求OF，題中已提示利用上述公式．因?yàn)椋?）我們已知等式的左邊，右邊OE可否用OF表示呢？觀察圖已知，OE=OF+杯壁母線長，又杯壁母線長AC=BD=6cm，所以結(jié)果易得．
（3）求矩形紙片的長與寬，直接考慮都在扇形外，所以可以考慮轉(zhuǎn)化到扇形中，由P為圓的切點(diǎn)，一般連接圓心與切點(diǎn)，如是連接OP，連接BE，記兩線交于Q，記OP與MN交于點(diǎn)R．此時(shí)BE即為矩形的長，PR即為矩形的寬，其中又由圓心角為60°，易得△OBE為等邊三角形，則BE可求．同時(shí)△ROF為含30°角的直角三角形，邊長易得，進(jìn)而PR易得．

解答：解：
（1）8π，6π．

（2）證明：設(shè)

BE

與

DF

所對(duì)的圓心角為n°．
∴

BE

的長=

n

360

•2π•OE=

nπ

180

•OE，

DF

的長=

n

360

•2π•OF=

nπ

180

•OF，
∴

BE 的長

DF 的長

=

nπ 180

nπ 180

•

OE

OF

=

OE

OF

．
∵OE=OF+6，

BE

的長=8π，

DF

的長=6π，
∴

8π

6π

=

OF+6

OF

，
解得，OF=18，
∴OE=OF+6=18+6=24．
∵

DF

的長=

nπ

180

•OF=6π，OF=18，
∴n=60．
所以，所在圓的半徑OF等于18cm，它所對(duì)的圓心角的度數(shù)為60°．

（3）
答：矩形紙片的長GH=24cm，寬GN=(24-9

3

)cm．
分析如下：

在圖4中，連接OP，連接BE，兩線交于Q，OP與MN交于點(diǎn)R．此時(shí)由圖形對(duì)稱可知，PO⊥BE，PO⊥NM，
∵OB=OE，∠BOE=60°，
∴△BOE為等邊三角形，則BE=OE=24，
∴矩形紙片的長GH=24cm．
∵∠BOE=60°，
∴∠FOR=30°，
在Rt△FOR中，
∵OF=18，
∴RF=9，
∴OR=9

3

，
∴PR=OP-OR=24-9

3

，
∴矩形紙片的寬GN=(24-9

3

)cm．

點(diǎn)評(píng)：本題首先考查了學(xué)生的空間思維能力，能否清晰的找準(zhǔn)空間圖形與平面圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．另外主要考查了弧長、圓心角、半徑之間的關(guān)系及利用特殊直角三角形求邊長等內(nèi)容．本題雖然長，內(nèi)容多，圖多，但是考查知識(shí)點(diǎn)都比較基礎(chǔ)，能夠有效的鍛煉學(xué)生的讀題理解能力，總體來說是到不錯(cuò)的題目．