Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=6，若OA、OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．

（1）求A、B的坐標(biāo)．

（2）求證：射線(xiàn)AO是∠BAC的平分線(xiàn)．

（3）若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則在直線(xiàn)AB上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，直接寫(xiě)出F點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0，4），B（﹣3，0）（2）射線(xiàn)AO是∠BAC的平分線(xiàn)（3）滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣， ）．

【解析】試題分析：（1）先解出一元二次方程，即得出OA，OB，即可得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)；

（2）先得出BC=AD=6，求出OC，再判斷出△AOB≌△AOC即可；

（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分AC與AF是鄰邊并且點(diǎn)F在射線(xiàn)AB上與射線(xiàn)BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對(duì)角線(xiàn)的情況分別進(jìn)行求解計(jì)算．

試題解析：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩個(gè)根，∴x=3或x=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，∴A（0，4），B（﹣3，0）；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC=AD=6，∵B（﹣3，0），∴C（3，0），∴OC=OB，在△AOB和△AOC中，∵OB=OC，∠AOB=∠AOC，AO=AO，∴△AOB≌△AOC，∴∠BAO=∠CAO，∴射線(xiàn)AO是∠BAC的平分線(xiàn)

（3）∵OB=OC=3，∴AO平分∠BAC．

①AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線(xiàn)AB上時(shí)，AF=AC=5，所以點(diǎn)F與B重合，即F（﹣3，0）；

②AC、AF是鄰邊，點(diǎn)F在射線(xiàn)BA上時(shí)，M應(yīng)在直線(xiàn)AD上，且FC垂直平分AM，點(diǎn)F（3，8）．

③AC是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，做AC垂直平分線(xiàn)L，AC解析式為y=﹣x+4，直線(xiàn)L過(guò)（，2），且k值（平面內(nèi)互相垂直的兩條直線(xiàn)k值乘積為﹣1），L解析式為，聯(lián)立直線(xiàn)L與直線(xiàn)AB求交點(diǎn)，∴F（﹣，﹣）；

④AF是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，過(guò)C做AB垂線(xiàn)，垂足為N，

根據(jù)等積法求出CN=，勾股定理得出，AN=，作A關(guān)于N的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為F，AF=，過(guò)F做y軸垂線(xiàn)，垂足為G，FG=，∴F（﹣， ）．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)有四個(gè)：F1（3，8）；F2（﹣3，0）；F3（﹣，﹣）；F4（﹣， ）．